岡山大学 2010年数学第1問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

岡山大学2010年度第1問

男性 $M_{1},\cdots,M_{4}$ の4人と女性 $F_{1},\cdots,F_{4}$ の4人が，横一列に並んだ座席 $S_{1},\cdots,S_{8}$ に座る場合を考える。

(1) 同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか。

(2) (1)の座り方の中で， $M_{1}$ の両隣りが $F_{1}$ と $F_{2}$ になる座り方は何通りあるか。

(3) (1)の座り方の中で， $M_{1}$ と $F_{1}$ が隣り合わない座り方は何通りあるか。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 1152通り。(2) 144通り。(3) 648通り。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 同性が隣り合わないため男女は交互に並ぶ。性別の並び方は2通りで、各々の男性・女性の並べ方がそれぞれ $4!$ 通りだから $2\cdot4!\cdot4!=1152.$

(2) 交互の並び方ごとに、M1が両隣を持つ男性席は3つ。席を選ぶ方法は $2\cdot3$ 通りで、両隣にF1,F2を置く順序が $2!$ 通り。残る人の配置は $3!\cdot2!$ 通りなので $2\cdot3\cdot2!\cdot3!\cdot2!=144.$

(3) (1)からM1とF1が隣り合う配置を引く。各性別の並び方に隣り合う席対は7組あり、指定された二人をその対に置くと残りの並べ方は $3!\cdot3!$ 通り。したがって隣り合う配置は $2\cdot7\cdot3!\cdot3!=504$ 通りであり、求める数は $1152-504=648.$

性別の交互配置を先に固定してから、区別される個人を割り当てる。(2)ではM1が端席にいないこと、(3)ではM1とF1の隣接席対が一意に定まり重複しないことを使う。

この問題で使う考え方

順列
積の法則
余事象による数え上げ

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