3大分大学 2016年 数学 第3問解答・解説

円 $C_1$ の半径は $a$、円 $C_2$ の半径は $a/4$ なので、$OB=3a/4$ である。角 $\theta$ における単位接線方向を $\boldsymbol e_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta)$ とする。

小円と大円の接点は中心 $B$ から外向き半径方向に $a/4$ だけ離れている。中心 $B$ の速度は $(3a/4)\dot\theta\,\boldsymbol e_\theta$、小円の自転による接点速度は $(a/4)\dot\phi\,\boldsymbol e_\theta$ である。接点で滑らない条件より $$\displaystyle \frac{3a}{4}\dot\theta+\frac{a}{4}\dot\phi=0, \qquad \phi=-3\theta$$ （初期角は $\phi=0$）。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OB}=\left(\frac{3a}{4}\cos\theta,\frac{3a}{4}\sin\theta\right), \qquad \text{(1)}\quad \overrightarrow{BP}=\left(\frac a4\cos3\theta,-\frac a4\sin3\theta\right).$$

初期位置 $P=A$ に合う向きを取った。位置ベクトルを足し、三倍角公式を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}\\ &=\left(\frac a4(3\cos\theta+\cos3\theta), \frac a4(3\sin\theta-\sin3\theta)\right)\\ &=\text{(2)}\quad (a\cos^3\theta,a\sin^3\theta). \end{aligned}$$

これを $\theta$ で微分すると $$\displaystyle \frac{d\overrightarrow{OP}}{d\theta} =(-3a\cos^2\theta\sin\theta,\ 3a\sin^2\theta\cos\theta), \qquad \left|\frac{d\overrightarrow{OP}}{d\theta}\right| =3a|\sin\theta\cos\theta|.$$ よって $0\leq\theta\leq2\pi$ の移動距離は $$\displaystyle \text{(3)}\quad 3a\int_0^{2\pi}|\sin\theta\cos\theta|\,d\theta =12a\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta =6a.$$