大分大学 2016年数学第1問解答・解説

1問題

大分大学2016年度第1問

$0$ でない実数 $r$ が $|r|<1$ のとき，以下の問いに答えなさい。ただし，自然数 $n$ に対して $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}nr^{n}=0,\qquad \lim\limits _{n\to\infty}n(n-1)r^{n}=0$ である。

(1) $\displaystyle R_{n}=\sum\limits _{k=0}^{n}r^{k}\quad\text{と}\quad S_{n}=\sum\limits _{k=0}^{n}kr^{k-1}$ を求めなさい。

(2) $\displaystyle T_{n}=\sum\limits _{k=0}^{n}k(k-1)r^{k-2}$ を求めなさい。

(3) $\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{\infty}k^{2}r^{k}$ を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) R_n
$(1−r^{(n+1)})/(1−r)$
(1) S_n
$[1−(n+1)r^n+n r^{(n+1)}]/(1−r)^2$
(2)
$\displaystyle \frac{2-n(n+1)r^{n-1}+2(n^2-1)r^n-n(n-1)r^{n+1}}{(1-r)^3}$
(3)
$\displaystyle\sum\limits _{k=0}^{\infty}k^2r^k=\frac{r(1+r)}{(1-r)^3}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

有限等比和を $R_n=1+r+\cdots+r^n=(1-r^{n+1})/(1-r)$ とおく。 $r\ne0$ なので、項別微分により $\displaystyle R_n'=\sum\limits _{k=0}^n kr^{k-1}=S_n$ 、 $\displaystyle R_n''=\sum\limits _{k=0}^n k(k-1)r^{k-2}=T_n$ である。商の微分で $\displaystyle S_n=\frac{1-(n+1)r^n+nr^{n+1}}{(1-r)^2},$ さらに微分して $\displaystyle T_n=\frac{2-n(n+1)r^{n-1}+2(n^2-1)r^n-n(n-1)r^{n+1}}{(1-r)^3}.$ これで(1)(2)。

$|r|<1$ なので $r^n\to0$ 。与えられた二つの極限から、上の式で $(n+1)r^n$ 、 $nr^{n+1}$ 、 $n(n+1)r^{n-1}$ 、 $(n^2-1)r^n$ 、 $n(n-1)r^{n+1}$ はすべて0へ行く（ $r\ne0$ を用いて $n(n+1)r^{n-1}=[n(n-1)r^n+2nr^n]/r$ と書ける）。従って $S_n\to1/(1-r)^2$ 、 $T_n\to2/(1-r)^3$ 。

$k^2=k(k-1)+k$ より $\displaystyle \sum\limits _{k=0}^n k^2r^k=r^2T_n+rS_n.$ $|r|<1$ ではこの級数は収束し、極限を取れば $\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{\infty}k^2r^k=\frac{2r^2}{(1-r)^3}+\frac{r}{(1-r)^2}=\frac{r(1+r)}{(1-r)^3}.$

この問題で使う考え方

有限等比和
有限和の項別微分
与えられた極限を用いた無限級数計算

1問題

2答え

3解答

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