2大分大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) $R_n$ の境界は $y=0$ と $y=2nx-x^2=x(2n-x)$ である。$x(2n-x)\geq 0$ となるのは $0\leq x\leq 2n$ のときなので、格子点の $x$ 座標は $0,1,\ldots,2n$ である。各整数 $x$ に対し、$y$ は $0$ から $2nx-x^2$ までの整数をとるから、 $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{x=0}^{2n}(2nx-x^2+1).$$ ここで $$\displaystyle \sum\limits _{x=0}^{2n}x=n(2n+1),\qquad \sum\limits _{x=0}^{2n}x^2=\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}$$ より、 $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=2n^2(2n+1)-\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}+(2n+1)\\ &=\frac{(2n+1)(2n^2-n+3)}{3}. \end{aligned}$$

(2) $y=2nx-x^2=-(x-n)^2+n^2$ より、頂点は $(n,n^2)$ である。$A(0,0)$ と頂点を結ぶ直線は $y=nx$、頂点と $B(2n,0)$ を結ぶ直線は $y=n(2n-x)$ である。したがって、三角形の上端は $0\leq x\leq n$ では $y=nx$、$n\leq x\leq 2n$ では $y=n(2n-x)$ となる。各整数 $x$ に含まれる格子点を数え、$x=n$ の列を重複させないようにすると、 $$\displaystyle \begin{aligned} T_n&=\sum\limits _{x=0}^{n}(nx+1)+\sum\limits _{x=n+1}^{2n}\{n(2n-x)+1\}\\ &=\frac{n^2(n+1)}{2}+\frac{n^2(n-1)}{2}+(2n+1)\\ &=n^3+2n+1. \end{aligned}$$ 例えば $n=1$ では $S_1=T_1=4$ となり、各列で数えた値と一致する。

(3) $$\displaystyle \frac{T_n}{S_n}=\frac{3(n^3+2n+1)}{(2n+1)(2n^2-n+3)} =\frac{3(1+2/n^2+1/n^3)}{(2+1/n)(2-1/n+3/n^2)}\longrightarrow \frac{3}{2\cdot2}=\frac34\quad(n\to\infty).$$