II横浜市立大学 2016年 数学 第II問解答・解説

確率の前提について

問題文には，カードをめくる順序を定める確率法則が明記されていない。値が相異なることだけからは勝つ確率は定まらない。以下は，めくる順に現れる値の並びが，可能な $n!$ 通りで等確率である，という条件を加えた場合の解答である。

(2) まず，一般の $n,k$ を考える。全体の最大値が $i$ 枚目にある確率は $1/n$ である。このとき，最初の $i-1$ 枚の中の最大値が現れる位置は，その $i-1$ 個の位置のどれも同じ確率である。戦略が $i$ 枚目で初めて止まるための条件は，この最大値が最初の $k$ 枚の中にあることである。実際，そうならば $k+1$ 枚目から $i-1$ 枚目までは最初の $k$ 枚の最大値 $M$ を超えず，$i$ 枚目の全体最大値で止まる。逆に，この最大値が $k+1$ 枚目以降にあれば，その位置で既に止まる。よって，条件付き確率は $k/(i-1)$ であり，$i$ 枚目で止まって勝つ確率は $$\displaystyle \frac1n\cdot\frac{k}{i-1}=\frac{k}{n(i-1)}.$$

(1) 勝つのは，全体最大値が2枚目にあり，かつ最初の1枚が最初の2枚の最大値である場合，または全体最大値が3枚目にあり，かつ最初の1枚が最初の2枚の最大値である場合である。上の式を $i=2,3$ に適用すると $$\displaystyle P_{3,1}=\frac{1}{3\cdot1}+\frac{1}{3\cdot2}=\frac13+\frac16=\boxed{\frac12}.$$

(3) $n=3p,\ k=p$ とすると，勝つ事象は停止位置 $i=p+1,\ldots,3p$ ごとに互いに重ならないので，(2)より $$\displaystyle P_{3p,p}=\sum\limits _{i=p+1}^{3p}\frac{p}{3p(i-1)}=\frac13\sum\limits _{j=p}^{3p-1}\frac1j.$$ $x>0$ で $1/x$ は減少するから，各整数 $j$ について $$\displaystyle \int_j^{j+1}\frac{dx}{x}\leq\frac1j, \qquad \frac1j\leq\int_{j-1}^{j}\frac{dx}{x}\quad(j\geq p+1).$$ これらを足すと $$\displaystyle \log3=\int_p^{3p}\frac{dx}{x} \leq\sum\limits _{j=p}^{3p-1}\frac1j \leq\frac1p+\int_p^{3p-1}\frac{dx}{x} <\frac1p+\log3.$$ したがって，はさみうちにより $\displaystyle \sum\limits _{j=p}^{3p-1}1/j\to\log3$ であり， $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{p\to\infty}P_{3p,p}=\frac{\log3}{3}}.$$ 以上の3つの数値・式は，一様な順列を仮定した場合の条件付き結果である。原文だけからは無条件の $P_{n,k}$ は決定できない。