IV横浜市立大学 2016年 数学 第IV問解答・解説

(1) ド・モアブルの定理より $$(\cos\theta+i\sin\theta)^7=\cos(7\theta)+i\sin(7\theta)$$ である。左辺の虚部を二項展開すると $$\sin(7\theta) =7\sin\theta\cos^6\theta -35\sin^3\theta\cos^4\theta +21\sin^5\theta\cos^2\theta -\sin^7\theta.$$

(2) (1)の式で $\sin\theta\ne0$ として両辺を $\sin^7\theta$ で割り、$x=\cot^2\theta$ とおくと $$\displaystyle \frac{\sin(7\theta)}{\sin^7\theta} =7\cot^6\theta-35\cot^4\theta+21\cot^2\theta-1 =7x^3-35x^2+21x-1.$$ ここで $\displaystyle \theta=\frac{k\pi}{7}$（$k=1,2,3$）とすると、$\sin(7\theta)=0$ かつ $\sin\theta\ne0$ だから、 $$\displaystyle x=\cot^2\frac{k\pi}{7}$$ は与式の解である。$\displaystyle \frac{k\pi}{7}$（$k=1,2,3$）はすべて $0$ と $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ の間にあり、$\cot^2\theta$ はこの範囲で単調減少するので、得られた三つの解は相異なる。三次方程式は高々三つの解しかもたないから、これらがすべての解である。

(3) 求める和は (2) で得た三つの解の和である。解と係数の関係より $$\displaystyle \cot^2\frac{\pi}{7} +\cot^2\frac{2\pi}{7} +\cot^2\frac{3\pi}{7} =\frac{35}{7}=5.$$