横浜市立大学／2016年度／前期

横浜市立大学 2016年数学第I問解答・解説

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1問題

横浜市立大学2016年度第I問

以下の問いに答えよ。ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ。

(1) ある大学で $N$ 人の学生が数学を受験した。その得点を $x_1,x_2,\ldots,x_N$ とする。平均値 $\bar{x}$ および分散 $s^2$ は各々 $\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N},\qquad s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_N-\bar{x})^2}{N}$ で与えられる。標準偏差 $s\;(>0)$ は $s=\sqrt{s^2}$ となる。このとき $x$ 点を取った学生の偏差値は $\displaystyle t=50+10\times\frac{x-\bar{x}}{s}$ で与えられる $(x\in\{x_1,x_2,\ldots,x_N\})$ 。偏差値は無単位であることに注意せよ。Y大学で $N=3n$ 人の学生が数学を受験し，たまたま $2n$ 人の学生が $a$ 点，残りの $n$ 人の学生が $b$ 点を取ったとしよう。簡単にするために $a<b$ とする。 $a$ 点を取った学生および $b$ 点を取った学生の偏差値を求めよ $\boxed{(1-1)},\ \boxed{(1-2)}$ 。

(2) 方程式 $x^2-3y^2=13$ の整数解を求める。簡単にするために $x>0,\ y>0$ とする。まず $X=ax+by,\quad Y=cx+dy$ とおく。 $a,b,c,d$ を自然数として， $(X,Y)$ が再び方程式 $X^2-3Y^2=13$ を満たすための組 $(a,b,c,d)$ を1つ求めよ $\boxed{(2-1)}$ 。次に，解の組 $(x,y)$ で $x>500$ となる $(x,y)$ を1つ求めよ $\boxed{(2-2)}$ 。

(3) $n$ を自然数とする。漸化式 $a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0,\qquad a_1=1,\quad a_2=1$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ $\boxed{(3)}$ 。

(4) $n$ を0以上の整数とする。以下の不定積分を求めよ。 $\displaystyle \int\left\{-\frac{(\log x)^n}{x^2}\right\}\,dx=\sum\limits _{k=0}^{n}\boxed{(4)}$ ただし，積分定数は書かなくてよい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\quad \bar{x}=\frac{2a+b}{3},\qquad s=\frac{\sqrt2(b-a)}3; \quad (1$ - $1)\space{}50-5\sqrt2,\qquad(1$ - $2)\space{}50+10\sqrt2. (2$ - $1)\quad(a,b,c,d)=(2,3,1,2);\qquad (2$ - $\displaystyle 2)\quad(x,y)=(556,321). (3)\quad a_n=-5\cdot2^n+\frac76\cdot3^n+3n+\frac92. (4)\quad \displaystyle\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{n!}{k!}\frac{(\log x)^k}{x}.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

学生は $2n$ 人が a 点、n 人が b 点を取っているので、平均値は $\displaystyle \bar{x}=\frac{2na+nb}{3n}=\frac{2a+b}{3}.$ 各得点と平均値との差は $\displaystyle a-\bar{x}=-\frac{b-a}{3},\qquad b-\bar{x}=\frac{2(b-a)}{3}.$ よって分散と標準偏差は $\displaystyle s^2=\frac{2n(a-\bar{x})^2+n(b-\bar{x})^2}{3n}=\frac{2(b-a)^2}{9},\qquad s=\frac{\sqrt2(b-a)}{3},$ である。 $a<b$ なので $s>0$ 。偏差値の定義に代入すると $\displaystyle (1\text{-}1)\quad 50+10\frac{a-\bar{x}}s=50-5\sqrt2,\qquad (1\text{-}2)\quad 50+10\frac{b-\bar{x}}s=50+10\sqrt2.$

(2) $X=2x+3y,\ Y=x+2y$ とすれば、展開により $X^2-3Y^2=(2x+3y)^2-3(x+2y)^2=x^2-3y^2.$ したがって $x^2-3y^2=13$ の解から新たな解 $(X,Y)$ が得られる。係数の一例は $(a,b,c,d)=(2,3,1,2)$ 。また $(4,1)$ は $4^2-3\cdot1^2=13$ を満たし、変換を繰り返すと $(4,1)\mapsto(11,6)\mapsto(40,23)\mapsto(149,86)\mapsto(556,321).$ 各組で方程式が保たれ、最後は $556>500$ だから、(2-2) の一例は $(x,y)=(556,321)$ 。

(3) 特性方程式は $r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0.$ 一次式 $\displaystyle p_n=3n+\frac92$ について $p_{n+2}-5p_{n+1}+6p_n=6n$ なので、一般解は $\displaystyle a_n=A2^n+B3^n+3n+\frac92$ 。初期条件 $a_1=a_2=1$ から $\displaystyle 2A+3B=-\frac{13}{2},\qquad 4A+9B=-\frac{19}{2},$ ゆえに $\displaystyle A=-5,\ B=\frac76$ 。したがって $\displaystyle a_n=-5\cdot2^n+\frac76\cdot3^n+3n+\frac92.$

(4) $x>0$ とし、 $\displaystyle I_n=\displaystyle\int-\frac{(\log x)^n}{x^2}\,dx$ とおく。 $I_0=1/x$ 。 $n\ge1$ では $\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{(\log x)^n}{x}\right)=\frac{n(\log x)^{n-1}-(\log x)^n}{x^2}$ だから $\displaystyle I_n=\frac{(\log x)^n}{x}+nI_{n-1}.$ これを繰り返すと、積分定数を省いて $\displaystyle I_n=\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{n!}{k!}\frac{(\log x)^k}{x}.$

この問題で使う考え方

分散と標準偏差
約数・倍数
漸化式
指数・対数関数の微分
部分積分法
三角・指数・対数関数等の積分

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