5日本大学 2017年 数学 第5問解答・解説

(1)　 $$\displaystyle \begin{aligned} x'&=-2\sin t-2\sin2t,\\ y'&=2\cos t-2\cos2t,\\ \sqrt{(x')^2+(y')^2} &=2\sqrt{(\sin t+\sin2t)^2+(\cos t-\cos2t)^2}\\ &=2\sqrt{2-2\cos3t}=4\left|\sin\frac{3t}{2}\right|. \end{aligned}$$ $0\leq t\leq2\pi/3$ では $\sin(3t/2)\geq0$ だから、曲線の長さは $$\displaystyle \int_0^{2\pi/3}4\sin\frac{3t}{2}\,dt=\frac{16}{3}.$$

(2)　 円 $O$ の半径は3、円 $C$ の半径は1なので、中心 $C$ は $OC=2$ を保って動く。中心の速度の大きさは $2\dot t$ である。接点で円 $C$ の点の速度が0となる（すべらない）ためには、円 $C$ の角速度は時計回りに $2\dot t$、すなわち反時計回りを正とする有向角速度で $-2\dot t$ となる。$t=0$ では $\overrightarrow{CP}=(1,0)$ だから、時刻 $t$ には $$\text{（ア）時計回りに }2t\ (\text{有向角 }-2t),\qquad \overrightarrow{CP}=(\cos2t,-\sin2t).$$ また $$\overrightarrow{OC}=(2\cos t,2\sin t)$$ である。従って $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}=(2\cos t+\cos2t,\,2\sin t-\sin2t)$ となり、与えられた曲線 $K$ と一致する。空欄は $(\text{ア})$ 時計回りに $2t$（有向角 $-2t$）、$(\text{イ})\cos2t$、$(\text{ウ})-\sin2t$、$(\text{エ})2\cos t$、$(\text{オ})2\sin t$ である。

(3)　 速さは $4|\sin(3t/2)|$ であり、$t=0,2\pi/3,4\pi/3,2\pi$ で0になる。対応する異なる尖点は $$\displaystyle (3,0),\quad\left(-\frac32,\frac{3\sqrt3}{2}\right),\quad\left(-\frac32,-\frac{3\sqrt3}{2}\right).$$ また、$t\mapsto -t$ で $x$ は不変、$y$ は符号が反転し、$t\mapsto t+2\pi/3$ は曲線全体を原点中心に $2\pi/3$ 回転させる。したがって、$x$ 軸対称で3回対称な三尖点の閉曲線（デルタ形）を描く。