4日本大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1)　 $\sin^3$x=$\sin$ x(1-$\cos^2$x) とし、$u=\cos x$ と置換すると $$\displaystyle \int_0^\pi\sin^3x\,dx=\int_{-1}^{1}(1-u^2)\,du=\left[u-\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac43.$$

(2)　 $a_1=\pi$、$b_1=(1+r)\pi$ である。$u=(x-\pi)/r$ と置くと、積分区間は $0\leq u\leq\pi$、$dx=r\,du$ であり、$f_1(x)=r\sin^3u$ だから $$\displaystyle c_1=\int_\pi^{(1+r)\pi}r\sin^3\!\left(\frac{x-\pi}{r}\right)dx=r^2\int_0^\pi\sin^3u\,du=\frac{4r^2}{3}.$$

(3)　 $b_n-a_n=r^n\pi$ なので、$u=r^{-n}(x-a_n)$ と置けば $x=a_n+r^nu$、$dx=r^n\,du$、積分区間は $0\leq u\leq\pi$ となる。したがって $$\displaystyle c_n=\int_{a_n}^{b_n}r^n\sin^3\!\left(r^{-n}(x-a_n)\right)dx=r^{2n}\int_0^\pi\sin^3u\,du=\frac{4r^{2n}}{3}.$$

(4)　 $0<r^2<1$ より等比級数の和の極限を用いると $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^nc_k=\lim\limits _{n\to\infty}\frac43\sum\limits _{k=1}^nr^{2k}=\frac43\cdot\frac{r^2}{1-r^2}=\frac{4r^2}{3(1-r^2)}.$$