2琉球大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(問1) $\sin3\theta-2\sin\theta=\sin\theta-4\sin^3\theta=\sin\theta(1-4\sin^2\theta)$。$\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$ では $\sin\theta>0$ だから $\displaystyle \sin\theta=\frac12$、よって $\displaystyle \theta=\frac\pi6$。

(問2) 被積分関数の中身は $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi6$ で正、$\displaystyle \frac\pi6<\theta<\frac\pi2$ で負となる。$\displaystyle F(\theta)=3\cos\theta-\frac43\cos^3\theta$ とおけば $F'(\theta)=\sin\theta-4\sin^3\theta$。したがって $$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}|\sin3\theta-2\sin\theta|\,d\theta =F\left(\frac\pi6\right)-F(0)+F\left(\frac\pi6\right)-F\left(\frac\pi2\right) =2\sqrt3-\frac53.$$

三倍角の公式から $\sin3\theta-2\sin\theta=\sin\theta(1-4\sin^2\theta)$ と因数分解できる。問1では θ が第1象限にあるので $\displaystyle \sin\theta=\frac12$ から $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$。問2では同じ因数の符号が π/6 を境に変わる。原始関数 $\displaystyle F=3\cos\theta-\frac43\cos^3\theta$ を使い、絶対値を境界で分割すると $\displaystyle F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3$、$\displaystyle F(0)=\frac53$、$\displaystyle F\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ より $\displaystyle 2\sqrt3-\frac53$。原文の定義域と符号変化を明示した。