2岡山大学 2016年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=8x^3-6x-1$ とする。三倍角公式から $$f(\cos\theta)=2\cos3\theta-1.$$ （1）$\theta=\pi/9,5\pi/9,7\pi/9$ とすればいずれも $\cos3\theta=1/2$ となり、3つの余弦値はfの根。角は異なり、0≦θ≦πの範囲ではθが大きいほどcosθが必ず小さくなるので根は相異なる。三次式なので実数解はちょうど3個。

（2）同じ公式に $a=\cos(5\pi/9)$ を代入すると $f(a)=2\cos(5\pi/3)-1=0$。

（3）$\pi/2<5\pi/9<2\pi/3$ なので、余弦が上の意味で減少することから、$c=\cos(5\pi/9)$ は $-1/2<c<0$ を満たす。他の二根は $\cos(\pi/9)>0$、$\cos(7\pi/9)<-1/2$ である。一方 $$f(-1/5)=17/125>0,\qquad f(-1/6)=-1/27<0.$$ 連続性から$-1/5<x<-1/6$ の範囲に根が少なくとも1つある。この範囲は $-1/2<x<0$ の範囲に含まれ、（1）の3根のうちこの範囲にあるのはcだけなので、$-1/5<c<-1/6$。