岡山大学 2016年数学第3問解答・解説

指数関数・対数関数微分法図形と方程式二次関数積分法

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1問題

岡山大学2016年度第3問

$a$ は正の数とし，次の関数 $y=f_a(x)$ のグラフの変曲点を $P$ とする。 $\displaystyle f_a(x)=ax e^{-\frac{x}{a}}\qquad(x\geq0)$ このとき以下の問いに答えよ。

(1) 点 $P$ の座標を求めよ。

(2) $a$ が区間 $1\leq a\leq2$ 全体を動くとき，点 $P$ が描く曲線 $C$ の概形を図示せよ。

(3) $x\geq0$ における曲線 $y=f_1(x)$ ， $y=f_2(x)$ と(2)の曲線 $C$ の3曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

問題 $a>0,\ f_a(x)=ax e^{-x/a}\ (x\ge0)$ の変曲点 $P$ を求め、 $1\le a\le2$ の軌跡 $C$ と、 $f_1,f_2,C$ に囲まれる面積を求める。

解答 $\displaystyle f_a'=(a-x)e^{-x/a},\qquad f_a''=\frac{x-2a}{a}e^{-x/a}.$ よって $P=(2a,2a^2/e^2)$ 。 $x=2a$ とすれば、軌跡は $y=x^2/(2e^2),\ 2\le x\le4$ 。

$f_1$ と $C$ は $x=2$ 、 $f_2$ と $C$ は $x=4$ 、 $f_1,f_2$ は原点で交わる。 $x>0$ で $f_2>f_1$ 。したがって境界は上が $f_2$ 、下が $0\le x\le2$ では $f_1$ 、 $2\le x\le4$ では $C$ である。 $\displaystyle S=\int_0^4f_2\,dx-\int_0^2f_1\,dx-\int_2^4\frac{x^2}{2e^2}\,dx =\left(8-\frac{24}{e^2}\right)-\left(1-\frac3{e^2}\right)-\frac{28}{3e^2} =7-\frac{91}{3e^2}.$

この問題で使う考え方

二階導関数と変曲点
媒介変数消去
曲線間の面積

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