5広島大学 2013年 数学 第5問解答・解説

（1）$g(x)=x^4e^{-3x}\ (x\ge2)$ とおくと $$g'(x)=x^3e^{-3x}(4-3x)\le0$$ である。よって $g$ は $x\ge2$ で減少し、 $$x^4e^{-3x}=g(x)\le g(2)=16e^{-6}$$ となる。また $x>0$ より $$\displaystyle 0\le x^3e^{-3x}=\frac{x^4e^{-3x}}{x}\le\frac{16e^{-6}}{x}\longrightarrow0\quad(x\to\infty)$$ であるから、はさみうちの原理により $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}x^3e^{-3x}=0$$ である。

（2）$x>0$ なので、与えられた方程式に $x^2$ を掛けると $$F(x)=k,\qquad F(x)=x^3e^{-3x}$$ と同値になる。$F(x)>0$ であり、 $$F'(x)=3x^2e^{-3x}(1-x)$$ だから、$F$ は $0<x<1$ で増加し、$x>1$ で減少する。さらに $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}F(x)=0,\qquad \lim\limits _{x\to\infty}F(x)=0,\qquad F(1)=e^{-3}$$ である。したがって水平線 $y=k$ が $y=F(x)\ (x>0)$ とちょうど2点で交わる条件は $$0<k<e^{-3}$$ である。端点 $k=e^{-3}$ では解は1つ、$k\le0$ または $k>e^{-3}$ では解は2つにならない。

（3）交点では $F(\alpha)=F(\beta)=k$ であり、$\beta=2\alpha$ だから $$\alpha^3e^{-3\alpha}=8\alpha^3e^{-6\alpha}.$$ $\alpha>0$ より $e^{3\alpha}=8$、したがって $$\displaystyle \alpha=\ln2,\qquad \beta=2\ln2,\qquad k=F(\alpha)=\frac{(\ln2)^3}{8}.$$ $\ln2<1<2\ln2$ であり、$F$ は $x=1$ で最大となるので、$\alpha<x<\beta$ では $F(x)>k$ である。よって元の2曲線についても $$\displaystyle xe^{-3x}-\frac{k}{x^2}=\frac{F(x)-k}{x^2}>0$$ となり、求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{\ln2}^{2\ln2}\left(xe^{-3x}-\frac{(\ln2)^3}{8x^2}\right)\,dx\\ &=\left[-\left(\frac{x}{3}+\frac19\right)e^{-3x}+\frac{(\ln2)^3}{8x}\right]_{\ln2}^{2\ln2}\\ &=\frac{18\ln2+7-36(\ln2)^2}{576}. \end{aligned}$$

指数関数を含む関数の導関数から不等式と極限、方程式の解の個数を調べる。条件 β=2α から交点とkを決め、曲線の上下関係を確かめて定積分を評価する。