2広島大学 2013年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &V\text{ を }x\ge0,y\ge0,x+y\le n\text{ を満たす格子点全体の集合とする。}\\ &|V|=\sum\limits _{y=0}^n(n-y+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2.\\[2pt] \text{(1)}\quad & A(a,b)\text{ の隣接点4個すべてが }D\text{ に含まれる}\text{すなわち} a\ge1,b\ge1,a+b\le n-1.\\ &u=a-1,v=b-1\text{より} u,v\ge0,\quad u+v\le n-3,\\ &\#=\sum\limits _{u=0}^{n-3}(n-2-u)=\frac{(n-1)(n-2)}2.\\[2pt] \text{(2)}\quad & E_{\rm horiz}=\sum\limits _{y=0}^n(n-y)=\frac{n(n+1)}2,\\ &E_{\rm vert}=\frac{n(n+1)}2,\quad E=n(n+1),\\ &\mathbb E[X]=\frac{2E}{|V|}=\frac{4n}{n+2}\ge3\text{すなわち} n\ge6.\\[2pt] \text{(3)}\quad & \binom{|V|}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}8,\\ &\mathbb P(\text{選んだ2点が隣接する}) =\frac{E}{\binom{|V|}{2}}=\frac8{(n+2)(n+3)}. \end{aligned}$$

格子点数は各高さ $y$ の点数を足して $|D|=(n+1)(n+2)/2$。4個の隣接点がすべて領域内にある点は $a,b\ge1$ かつ $a+b\le n-1$ なので、平行移動後の整数対 $(u,v)$ の個数は $(n-1)(n-2)/2$。隣接辺は横・縦それぞれ $n(n+1)/2$ 本で総数 $E=n(n+1)$。隣接点数の平均は $2E/|D|=4n/(n+2)$ となり、3以上は $n\ge6$。異なる点の全組合せ数 $\displaystyle \binom{|D|}{2}$ に対する隣接組 $E$ の比は $8/((n+2)(n+3))$。