3広島大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1) $\overrightarrow{AB}=(t,-1)$、その中点は $\displaystyle (\frac t2,\frac12)$。それに垂直なベクトル $(1,t)$ の長さは $\sqrt{1+t^2}=|AB|$ であるから、2頂点は中点から $\displaystyle \pm\frac{\sqrt3}{2}(1,t)$ だけずれた点である。したがって $$\displaystyle \left(\frac{t+\sqrt3}{2},\frac{1+\sqrt3t}{2}\right),\qquad \left(\frac{t-\sqrt3}{2},\frac{1-\sqrt3t}{2}\right).$$

(2) 小さい方の$x\text{ 座標}$をもつ点は常に後者であり、$\displaystyle x=\frac{t-\sqrt3}{2}$、$\displaystyle y=\frac{1-\sqrt3t}{2}$。$t\ge0$ より $\displaystyle x\ge-\frac{\sqrt3}{2}$、また $t=2x+\sqrt3$ を代入すると $$y=-\sqrt3x-1.$$ よって始点 $\displaystyle (-\frac{\sqrt3}{2},\frac12)$ を含み、右下へ延びる半直線。

(3) 2頂点を $P_+,P_-$ とすると、$P_+$ を通る直線の傾きは $\displaystyle k_+=\frac{\sqrt3t+1}{t+\sqrt3}$。これは $t\ge0$ で $\displaystyle \frac1{\sqrt3}\le k_+<\sqrt3$。後者については $t\ne\sqrt3$ のとき $$\displaystyle k_- =\frac{1-\sqrt3t}{t-\sqrt3},\qquad t=\frac{1+\sqrt3k}{k+\sqrt3}.$$ $t\ge0$ となるのは $k< -\sqrt3$ または $\displaystyle k\ge-\frac1{\sqrt3}$。$k=-\sqrt3$ では元の方程式が $0=-2$ となり不可能。さらに $t=\sqrt3$ の点は $(0,-1)$ で、有限な傾きの直線 $y=kx$ 上にはない。$P_+$ の傾き範囲は後者の範囲に含まれるため、求める範囲は $$\displaystyle k< -\sqrt3\quad\text{または}\quad k\ge-\frac1{\sqrt3}.$$

$\overrightarrow{AB}=(t,-1)$、中点は$\displaystyle \left(\frac t2,\frac12\right)$。垂直方向の$\text{ベクトル }(1,t)\text{ は }\overrightarrow{AB}\text{ と同じ長さ}$なので、正三角形の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\text{ 倍}$したベクトルとなり、2つの第三頂点を得る。常に小さい$x\text{ 座標}$の点はマイナス側で、$\text{媒介変数 }t$を消去すると$\displaystyle y=-\sqrt3x-1,\quad x\ge-\frac{\sqrt3}{2}$の半直線となる。傾き条件は両方の第三頂点を検査する。プラス側は$\displaystyle \frac1{\sqrt3}\le k<\sqrt3$で、マイナス側は$\displaystyle k<-\sqrt3\text{ または }k\ge-\frac1{\sqrt3}$。後者の条件では$t=\sqrt3$だけ垂直点(0,−1)となるため除外され、有限な傾きの直線は通らない。プラス側の範囲は後者の範囲に含まれるので、合併は$\displaystyle k<-\sqrt3\text{ または }k\ge-\frac1{\sqrt3}$。