1岐阜大学 2009年 数学 第1問解答・解説

(1) 直線 $y=mx$ の方向ベクトルは $(1,m)$。射影を計算し、指定軸対称を取ると $$\displaystyle P=\left(\frac{a}{1+m^2},-\frac{am}{1+m^2}\right),\qquad Q=\left(-\frac{bm}{1+m^2},\frac{bm^2}{1+m^2}\right).$$

(2) $PR:RQ=2:1$ より $R=(P+2Q)/3$。従って $$\displaystyle R=\left(\frac{a-2bm}{3(1+m^2)},\frac{m(2bm-a)}{3(1+m^2)}\right).$$

(3) $R=(x,y)$ とすると $y=-mx$。$x\ne0$ の場合 $m=-y/x>0$、これを(2)に代入して $$3x(x^2+y^2)=ax^2+2bxy,\qquad xy<0.$$ 逆にこの式と $xy<0$ を満たせば $m=-y/x>0$ と戻せる。$x=0$ は媒介表示で $y=0$ の場合だけなので、軌跡は $$3x(x^2+y^2)=ax^2+2bxy,\quad xy<0,$$ に原点 $(0,0)$ を加えたもの。$m\to0+$ で $(a/3,0)$、$m\to\infty$ で $(0,2b/3)$ に近づくが、どちらも到達しない。$m=a/(2b)$ では原点を通る。従って軌跡は第四象限から原点を通って第二象限へ向かう枝で、端点 $(a/3,0),(0,2b/3)$ は除く。

(3) 図示 軌跡の模式図を示す（曲線の形・縮尺は一般の $a,b>0$ に対する模式的なもの）。白丸の二点は極限点で軌跡に含まず、原点は $\displaystyle m=\dfrac{a}{2b}$ のとき実際に含む。