II横浜市立大学 2012年 数学 第II問解答・解説

頂点$B$を始点とするベクトルを$\boldsymbol{x}=\overrightarrow{BA},\boldsymbol{y}=\overrightarrow{BC},\boldsymbol{z}=\overrightarrow{BD}$とおく。正四面体の各面は正三角形なので、$|\boldsymbol{x}|=|\boldsymbol{y}|=|\boldsymbol{z}|=a$、また$\displaystyle \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{z}=\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{x}=a^2\cos 60^\circ=\dfrac{a^2}{2}$である。$\overrightarrow{CQ}=t\overrightarrow{CD}=t(\boldsymbol{z}-\boldsymbol{y})$より、$\overrightarrow{BQ}=(1-t)\boldsymbol{y}+t\boldsymbol{z}$となる。また、$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}=-t\boldsymbol{x}$だから、$\overrightarrow{BP}=(1-t)\boldsymbol{x}$である。　 (1) $\displaystyle \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BQ}=\boldsymbol{x}\cdot\bigl((1-t)\boldsymbol{y}+t\boldsymbol{z}\bigr)=(1-t)\dfrac{a^2}{2}+t\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{a^2}{2}.$　 (2) まず、$\overrightarrow{BQ}$の長さの平方は$\begin{aligned} |\overrightarrow{BQ}|^2&=\bigl((1-t)\boldsymbol{y}+t\boldsymbol{z}\bigr)\cdot\bigl((1-t)\boldsymbol{y}+t\boldsymbol{z}\bigr)\\ &=a^2\bigl((1-t)^2+t^2+t(1-t)\bigr)=a^2(1-t+t^2). \end{aligned}$ また、$\displaystyle \boldsymbol{x}\cdot\overrightarrow{BQ}=\dfrac{a^2}{2}$であり、$\overrightarrow{QA}=\boldsymbol{x}-\overrightarrow{BQ}$、$\overrightarrow{QB}=-\overrightarrow{BQ}$だから、$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QB}&=(\boldsymbol{x}-\overrightarrow{BQ})\cdot(-\overrightarrow{BQ})\\ &=|\overrightarrow{BQ}|^2-\boldsymbol{x}\cdot\overrightarrow{BQ}\\ &=a^2\left(t^2-t+\dfrac12\right). \end{aligned}$　 (3) $\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BQ}=(1-t)\boldsymbol{x}-\overrightarrow{BQ}$より、$\begin{aligned} |\overrightarrow{QP}|^2&=(1-t)^2a^2+|\overrightarrow{BQ}|^2-2(1-t)\boldsymbol{x}\cdot\overrightarrow{BQ}\\ &=a^2\bigl((1-t)^2+(1-t+t^2)-(1-t)\bigr)\\ &=a^2(2t^2-2t+1). \end{aligned}$ 長さは正なので、$|\overrightarrow{QP}|=a\sqrt{2t^2-2t+1}$である。なお$\displaystyle 2t^2-2t+1=2(t-\dfrac12)^2+\dfrac12>0$であり、根号内は正である。