3群馬大学 2002年 数学 第3問解答・解説

（1）$\overrightarrow{PQ}=\vec c-\vec a$なので、 $$\vec d=\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\vec c-\vec a+\vec b=-\vec a+\vec b+\vec c.$$

（2）$PA:AQ=2:1$より、 $$\displaystyle \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA}=\vec a+\frac23(\vec c-\vec a)=\frac13\vec a+\frac23\vec c.$$ また、$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PR}=\vec a+\vec d=\vec b+\vec c$であり、$OB:BR=3:2$より、 $$\displaystyle \overrightarrow{OB}=\frac35(\vec b+\vec c).$$ したがって、 $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ &=-\frac13\vec a+\frac35\vec b+\left(\frac35-\frac23\right)\vec c\\ &=-\frac13\vec a+\frac35\vec b-\frac1{15}\vec c. \end{aligned}$$

（3）（1）より $\vec d=\vec b+\vec c-\vec a$。条件に代入して内積で展開すると、 $$\begin{aligned} |\vec a|^2+|\vec b|^2&=|\vec c|^2+|\vec b+\vec c-\vec a|^2\\ &=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2|\vec c|^2+2\vec b\cdot\vec c-2\vec a\cdot\vec b-2\vec a\cdot\vec c. \end{aligned}$$ 両辺から $|\vec a|^2+|\vec b|^2$ を引いて整理すれば、 $$0=2\{(\vec b+\vec c)\cdot\vec c-(\vec b+\vec c)\cdot\vec a\}=-2(\vec b+\vec c)\cdot(\vec a-\vec c).$$ したがって $(\vec b+\vec c)\cdot(\vec a-\vec c)=0$ であり、二つのベクトルは直交する。

位置ベクトルの加法と内分公式で各点の位置を表し、最後は与式を内積展開して直交条件に整理する。