2群馬大学 2002年 数学 第2問解答・解説

(1) 直線 $l$ は $y=tx$ であるから、円 $C$ との交点は $$(x-1)^2+t^2x^2=1\quad\text{すなわち}\quad x\{(1+t^2)x-2\}=0.$$ 原点以外の交点では $x=2/(1+t^2)$ なので $$\displaystyle P=\left(\frac{2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right).$$

(2) 円の中心は $(1,0)$、半径は $1$ である。点 $P$ における接線は半径 $(x_P-1,y_P)$ に垂直なので $$(x_P-1)(x-1)+y_Py=1.$$ (1)の座標を代入して整理すると $$\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}(x-1)+\frac{2t}{1+t^2}y=1 \quad\text{すなわち}\quad (1-t^2)x+2ty=2.$$

(3) この接線の $x$ 軸との交点は $y=0$ を代入して $x=2/(1-t^2)$。これが $3$ だから $$\displaystyle \frac{2}{1-t^2}=3\quad\text{より}\quad t^2=\frac13.$$ $t>0$ より $t=1/\sqrt3$。傾きと角の関係 $t=\tan\theta$ から $$\theta=30^\circ.$$