群馬大学 2002年数学第1問解答・解説

数列極限

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1問題

群馬大学2002年度第1問

n を正の整数とし, r を r > 1 を満たす実数とする。

$a _ {1} r + a _ {2} r ^ {2} + \dots + a _ {n} r ^ {n} = (- 1) ^ {n}$

を満たす数列 $\{a_{n}\}$ について

(1) $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ を r を用いて表せ。

(2) $n \geq 2$ のとき, $a_{n}$ を r を用いて表せ。

(3) 無限級数の和 $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} + \cdots$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle a_1=-\frac1r$ , $\displaystyle a_2=\frac2{r^2}$ , $\displaystyle a_3=-\frac2{r^3}$
(2)
$a_n=2(−1)^n/r^n (n≥2)$
(3)
Σa_n=(1−r)/(r(r+1))

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle S_n=\sum\limits _{j=1}^n a_jr^j=(-1)^n$ と置く。 $n=1$ では $a_1r=-1$ 、ゆえに $a_1=-1/r$ 。 $n\ge2$ では隣り合う条件の差を取れば $a_nr^n=S_n-S_{n-1}=(-1)^n-(-1)^{n-1}=2(-1)^n,$ したがって $a_n=2(-1)^n/r^n$ 。特に $a_2=2/r^2, a_3=-2/r^3$ 。

$r>1$ なので公比 $-1/r$ の級数は収束する。よって $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n=-\frac1r+\sum\limits _{n=2}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{r^n} =-\frac1r+\frac{2/r^2}{1+1/r} =\frac{1-r}{r(r+1)}.$

与えられた累積和を $S_n$ とおき、隣り合う部分和の差で各項を得る。 $n\ge2$ の項は初項 $\displaystyle \frac2{r^2}$ 、公比 $\displaystyle -\frac1r$ の等比級数を作る。

この問題で使う考え方

部分和の差
等比数列・無限等比級数

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