3徳島大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(1) $r=a^{1/n}>0$ とおく。曲線は $$\displaystyle y=x\left(\frac{x^n}{a}-1\right)$$ と書ける。$n$ が奇数なら零点は $0,r$ であり、有界部分は $0\leq x\leq r$ の範囲に一つある。$n$ が偶数なら零点は $-r,0,r$ であり、$-r\leq x\leq0$ と $0\leq x\leq r$ の範囲に二つの有界部分がある。曲線は原点対称なので二部分の面積は等しい。

右側の一部分の面積を $S$ とする。$a=r^n$ であるから $$\displaystyle S=\int_0^r\left(x-\frac{x^{n+1}}{a}\right)\,dx =\frac{r^2}{2}-\frac{r^{n+2}}{(n+2)a} =\frac{nr^2}{2(n+2)}.$$ 問題の面積を、曲線と $x$ 軸で囲まれる有界部分全体の面積と読む。$n$ が奇数なら $\displaystyle S=\frac12$、偶数なら二部分の合計が $\displaystyle \frac12$、すなわち $\displaystyle 2S=\frac12$ となる。よって $$\displaystyle a=r^n=\begin{cases} \left(\dfrac{n+2}{n}\right)^{n/2},&n\text{ が奇数},\\[4pt] \left(\dfrac{n+2}{2n}\right)^{n/2},&n\text{ が偶数}. \end{cases}$$

(2) これより $$\displaystyle b_n=a_{2n}=\left(\frac{n+1}{2n}\right)^n =\frac{1}{2^n}\left(1+\frac1n\right)^n\longrightarrow0.$$ また $$\displaystyle c_n=a_{2n-1}=\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{(2n-1)/2}.$$ $x=(2n-1)/2$ とおけば $x\to\infty$ であり、$c_n=(1+1/x)^x$ となる。問題文で許された極限を用いて $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}b_n=0,\qquad \lim\limits _{n\to\infty}c_n=e.$$

$r=a^{1/n}>0$ とおく。曲線は $\displaystyle y=x\left(\frac{x^n}{a}-1\right)$ である。$n$ が奇数なら有界部分は $0\le x\le r$ の範囲に一つ、$n$ が偶数なら $-r\le x\le0$ と $0\le x\le r$ の二つの範囲で、原点対称だから左右の面積は等しい。右側一領域の面積を $S$ とすると、$a=r^n$ より $\displaystyle S=\frac{nr^2}{2(n+2)}$。奇数では $\displaystyle S=\frac12$、偶数では二領域の合計 $\displaystyle 2S=\frac12$ とする。これより $\displaystyle a=r^n=\left(\frac{n+2}{n}\right)^{n/2}$（奇数）、$\displaystyle \left(\frac{n+2}{2n}\right)^{n/2}$（偶数）。したがって $\displaystyle b_n=\left(\frac{n+1}{2n}\right)^n\to0$。$\displaystyle c_n=\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{(2n-1)/2}$ は $\displaystyle x=\frac{2n-1}{2}$ とおくと $(1+1/x)^x$ なので $e$ に収束する。