徳島大学 2002年数学第2問解答・解説

微分法積分法

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1問題

徳島大学2002年度第2問

関数 $\displaystyle f(x)=\int_0^x\frac{x}{1+t^2}\,dt$ について，次の問いに答えよ。

(1) 第2次導関数 $f\prime\prime(x)$ を求めよ。

(2) 導関数 $f\prime(x)$ において， $f\prime(x)=0$ となるのは $x=0$ だけに限ることを示せ。

(3) 関数 $f(x)$ の最小値，および最小値を与える $x$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle f''(x)=\frac{2}{(1+x^2)^2}$ 。
(2)
唯一の解 $x=0$
(3)
最小値0、そのとき $x=0$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) まず積分を計算すると $\displaystyle f(x)=x\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=x\arctan x.$ したがって $\displaystyle f'(x)=\arctan x+\frac{x}{1+x^2},\qquad f''(x)=\frac1{1+x^2}+\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{2}{(1+x^2)^2}.$

(2) すべての実数xで $f''(x)>0$ だから、f'はxが大きくなると値も必ず大きくなる。また $f'(0)=0$ なので、f'(x)=0となるのはx=0だけである。

(3) f'はxが大きくなると値も必ず大きくなり、0で0となるから、x<0ではf'<0、x>0ではf'>0。ゆえにfはx=0で最小値をとる。 $f(0)=0$ より最小値は0。

被積分変数tについてxは定数なので積分はx arctan xとなる。2階導関数が全域で正であることから1階導関数の単調性と唯一の零点が分かり、増減表で最小値を決める。

この問題で使う考え方

定積分の計算
二階導関数による増減判定
商の微分法

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