4徳島大学 2002年 数学 第4問解答・解説

(1) $H$ は $C$ の直線 $OA$ への正射影である。したがって $$\overrightarrow{OH}=t\overrightarrow{OA},\qquad (\overrightarrow{OC}-t\overrightarrow{OA})\cdot\overrightarrow{OA}=0.$$ $\overrightarrow{OA}=(2,1,2)$、$\overrightarrow{OC}=(5,7,5)$ より $$\displaystyle t=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}}{|OA|^2}=\frac{27}{9}=3,$$ ゆえに $H=(6,3,6)$。

(2) $\overrightarrow{CH}=(-1,4,-1)$ なので $CH=3\sqrt2$。また $$v=\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OA}=(2,0,-2)$$ は $\overrightarrow{OA}$ と垂直で、平面 $OAB$ 内にある。$H$ は直線 $OA$ 上にあるため、平面 $OAB$ 内で $H$ を通り $OA$ に垂直な方向は $v$ の方向であり、$D=H+\lambda v$ と書ける。条件 $DH=CH$ から $$2\sqrt2|\lambda|=3\sqrt2,$$ よって $\lambda=\pm3/2$。したがって $$D=(9,3,3)\quad\text{または}\quad D=(3,3,9).$$

(3) $e=\overrightarrow{OA}/3$ とおけば $|e|=1$ で、直線 $OA$ 上の点は $P=se$ と表せる。直交分解すると $$B=6e+(2,0,-2),\qquad C=9e+(-1,4,-1),$$ ここで垂直成分の長さはそれぞれ $2\sqrt2,3\sqrt2$ である。よって $$BP=\sqrt{(s-6)^2+8},\qquad CP=\sqrt{(s-9)^2+18}.$$ この距離和は、平面上の $B'=(6,2\sqrt2)$、$C'=(9,3\sqrt2)$ と軸上の点 $(s,0)$ までの距離和に等しい。$C'$ を軸について反射した $C''=(9,-3\sqrt2)$ を用いると、最小値は線分 $B'C''$ が軸と交わる点で達する。線分を $$(6,2\sqrt2)+u(3,-5\sqrt2)\quad(0\le u\le1)$$ と表すと、軸との交点は $u=2/5$、$s=36/5$ である。従って $$\displaystyle P=\frac{36}{5}e=\frac{12}{5}\overrightarrow{OA} =\left(\frac{24}{5},\frac{12}{5},\frac{24}{5}\right).$$