4東京大学 2002年 数学 第4問解答・解説

点 $Q$ の $x$ 座標を $t$ とし、$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$ とおく。$Q\ne O$ より $t\ne0$ である。

$\displaystyle f'(t)=\frac{2t}{(t^2+1)^2}$ なので、$Q$ における接線の方向ベクトルは $(1,f'(t))$、$\overrightarrow{PQ}$ は $(t,f(t)-a)$ である。直交条件は $$t+f'(t)(f(t)-a)=0.$$ $t\ne0$ であるから、これを $t$ で割って整理すると $$\displaystyle 2a=(1+t^2)^2+\frac{2t^2}{1+t^2}.$$

$u=1+t^2$ とおけば $u>1$ であり、 $$\displaystyle 2a=u^2+2-\frac{2}{u},\qquad a=\frac{u^2}{2}+1-\frac1u.$$ よって $u>1$ なら $\displaystyle \frac{u^2}{2}>\frac12$ かつ $\displaystyle 1-\frac1u>0$ なので $\displaystyle a>\frac12$。

逆に $\displaystyle a>\frac12$ とする。$\displaystyle G(u)=u^2+2-\frac2u$ は $u\ge1$ の範囲で連続し、$G(1)=1<2a$。また、十分大きい $U>1$ を選べば $G(U)>U^2>2a$ となる。中間値の定理により、$1<u<U$ を満たすある $u$ で $G(u)=2a$ となる。このとき $t=\sqrt{u-1}\ne0$ とすれば直交条件を満たす点 $Q\ne O$ が得られる。したがって求める範囲は $\displaystyle a>\frac12$ である。