1高知大学 2007年 数学 第1問解答・解説

(1) 元の円上の点を $(X,Y)$ とすると、変換後は $(x,y)=(X,kY)$ なので $$\displaystyle E_k:\quad x^2+\frac{y^2}{k^2}=1.$$ 軸との交点は $(\pm1,0),(0,\pm k)$。$0<k<1$ では単位円を縦方向に縮めた横長の楕円、$k=1$ では単位円、$k>1$ では縦方向に伸ばした縦長の楕円である。

(2) $y\ne0$ で陰関数の微分を行うと $y'=-k^2x/y$。点 $(\cos\theta,k\sin\theta)$ における接線は $$\displaystyle y-k\sin\theta=-\frac{k\cos\theta}{\sin\theta}(x-\cos\theta).$$ したがって切片は $$\displaystyle f(k)=\frac1{\cos\theta},\qquad g(k)=\frac{k}{\sin\theta}.$$ $\theta$ は定数だから、$x>0$ において $f,g$ は微分可能で $$\displaystyle f'(x)=0,\qquad g'(x)=\frac1{\sin\theta}.$$

(3) $k>1$ の焦点は $(0,\pm\sqrt{k^2-1})$、$0<k<1$ の焦点は $(\pm\sqrt{1-k^2},0)$。楕円の焦点までの距離の和は長軸の長さなので $$h(k)=\begin{cases}2&(0<k\le1),\\2k&(k\ge1).\end{cases}$$ $k=1$ でも指定された二焦点はともに原点なので $h(1)=2$。 $t=(1/2)^x\to0^+$ とおけば $$\displaystyle \frac{h(1-t)-h(1)}t=0,\qquad\frac{h(1+t)-h(1)}t=2.$$ よって問題の二つの極限は順に $0,2$。左微分係数は $0$、右微分係数は $2$ であり、$h$ は $x=1$ では微分不可能である。他の $x>0$ では定数関数または一次関数なので微分可能。

(4) $\theta=\pi/4$ のとき、接点は $T=(1/\sqrt2,k/\sqrt2)$、軸との交点は $A=(\sqrt2,0), B=(0,k\sqrt2)$。 $y$ 座標を $k$ で割ると楕円は単位円に、接線は $X+Y=\sqrt2$ に移る。この円と接線・両軸に囲まれる二領域は $Y=X$ に関して対称だから、面積は等しい。元へ戻す縦方向の拡大はどちらの面積も同じく $k$ 倍するので、求める比は $$\boxed{S_1:S_2=1:1}.$$ 実際、三角形 $OAT$ の面積は $k/2$、対応する楕円の扇形は単位円の中心角 $\pi/4$ の扇形を縦に $k$ 倍したものだから面積 $k\pi/8$。従って両領域とも $k(4-\pi)/8$ となる。

各図は代表的な形。どの場合も横方向の半径は1で、縦方向の半径だけが $k$ となる。