2高知大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) $A^2$ を成分ごとに計算すると $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&d^2+bc\end{pmatrix}.$$ したがって $$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$$ である。

(2) $s=a+d,\ p=ad-bc$ とおく。(1)と条件式の差をとると $$(8-s)A+(p-12)E=O.$$ その $(1,2)$ 成分は $b(8-s)=0$ である。$b$ は $1$ または素数だから $b\ne0$ であり、$s=8$。対角成分から $p=12$ も従う。

$a,d$ は $1$ または素数なので、和が $8$ となる組は $$(a,d)=(1,7),(3,5),(5,3),(7,1)$$ である。最初と最後の場合は $bc=ad-12=-5$ となり不可能。残る二組では $bc=3$ であり、許される正の成分は $(b,c)=(1,3),(3,1)$ である。よって $$A=\begin{pmatrix}3&1\\3&5\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}3&3\\1&5\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}5&1\\3&3\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}5&3\\1&3\end{pmatrix}.$$ いずれも $a+d=8,\ ad-bc=12$ を満たすので、(1)より元の条件式を満たす。

(3) $Av=kv$ ($v\ne0$) を元の条件式に代入すると $$(k^2-8k+12)v=0,$$ したがって $k=2$ または $k=6$。前掲の $A=\begin{pmatrix}3&1\\3&5\end{pmatrix}$ について $$A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=6\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix},$$ ゆえに両方が実現する。

(4) 指定極限行列を $P$ とする。恒等式 $$\displaystyle A\frac{A^n}{6^n}=6\frac{A^{n+1}}{6^{n+1}}$$ の極限から $AP=6P$。$P$ の列は $(1/4,3/4)^T$ なので $A(1,3)^T=6(1,3)^T$ となり、(2)の候補中では $A=\begin{pmatrix}3&1\\3&5\end{pmatrix}$ だけが該当する。

この行列に対して $P=(A-2E)/4$ とおけば、直接計算で $P^2=P$。$Q=E-P$ とすると $Q^2=Q,\ PQ=QP=O,\ A=6P+2Q$ であるから $$\displaystyle \frac{A^n}{6^n}=P+\left(\frac13\right)^nQ\longrightarrow P.$$ よって求める行列は $\begin{pmatrix}3&1\\3&5\end{pmatrix}$ である。

(1)は成分計算で恒等式を示す。(2)では係数差を用い、0でない成分bからa+dとad−bcを定め、成分の許容集合を漏れなく列挙する。(3)は固有ベクトルに与式を作用させ、両候補値の実現例を示す。(4)は極限行列との積で唯一候補を絞り、射影分解で極限条件を十分性まで確かめる。