3金沢大学 2006年 数学 第3問解答・解説

(1) $a=2-\cos\theta$, $s=\sin\theta$, $P=(2\theta-s,a)$ とおく。媒介変数表示を微分すると $$x'(t)=2-\cos t,\qquad y'(t)=\sin t.$$ 従って $t=\theta$ での接線方向ベクトルは $(a,s)$。法線 $\ell_\theta$ は $$a(x-x_P)+s(y-y_P)=0.$$ ここで $ax_P+sy_P=a(2\theta-s)+sa=2\theta a$ だから $$\ell_\theta:\quad (2-\cos\theta)x+\sin\theta\,y =2\theta(2-\cos\theta).$$

(2) 法線と $x$ 軸、$y$ 軸との交点は、それぞれ $$\displaystyle (2\theta,0),\qquad \left(0,\frac{2\theta a}{s}\right).$$ $0<\theta<\pi$ より $a>0,s>0$ で、面積は $$\displaystyle S(\theta)=\frac12(2\theta)\frac{2\theta a}{s} =\frac{2\theta^2(2-\cos\theta)}{\sin\theta}.$$

(3) $x'(t)=2-\cos t>0$ なので、曲線は $x$ に対して増加する。法線は傾き $-a/s<0$ で点 $P$ を通る。従って $0\le x\le x_P$ では曲線が法線より下、$x_P\le x\le2\theta$ では法線が曲線より下にあり、共通部分の面積は曲線下の面積と右端の三角形の面積の和である。 $$\displaystyle \int_0^{x_P}y\,dx =\int_0^\theta(2-\cos t)^2dt =\frac92\theta-4\sin\theta+\frac14\sin2\theta.$$ 右端の三角形は底辺 $2\theta-x_P=s$、高さ $a$ だから面積は $\displaystyle \frac12as$。よって $$\displaystyle T(\theta)=\frac92\theta-4s+\frac14\sin2\theta+\frac12as =\frac92\theta-3\sin\theta.$$

(4) $\sin\theta/\theta\to1$、$\cos\theta\to1$ より $$\displaystyle \lim\limits _{\theta\to+0}\frac{T(\theta)}{\theta}=\frac92-3=\frac32,\qquad \lim\limits _{\theta\to+0}\frac{S(\theta)}{\theta} =\lim\limits _{\theta\to+0}\frac{2\theta(2-\cos\theta)}{\sin\theta}=2.$$ 従って $$\displaystyle \lim\limits _{\theta\to+0}\frac{T(\theta)}{S(\theta)} =\frac{3/2}{2}=\frac34.$$

媒介変数微分で法線を求め、軸切片からSを計算する。TはPの左側の曲線下積分と右側の法線下三角形に分けて求め、各面積をθで割った極限の比を取る。