1金沢大学 2006年 数学 第1問解答・解説

(1) $$\displaystyle x_n=1+\sum\limits _{j=1}^{n-1}2^j=1+(2^n-2)=2^n-1.$$ (2) $z_n=1/y_n$ とおくと、$z_1=3/4$、$z_{n+1}=4z_n+3/4$。定数解は $-1/4$ なので $$\displaystyle z_n+\frac14=4^{n-1}\left(z_1+\frac14\right)=4^{n-1}.$$ 従って $$\displaystyle y_n=\frac{1}{z_n}=\frac4{4^n-1}.$$ (3) $t=2^n$、$x_n=t-1$ とする。また $1/y_n=(4^n-1)/4=(t-1)(t+1)/4$。ベクトルの内積は $$\displaystyle \vec a_n\cdot\vec b_n =\left(16-\frac1{x_n}\right)\frac{x_n}{4} +\left(\frac{16}{x_n}-1\right)\frac1{y_n}.$$ 両辺を4倍し、$x_n=t-1$ を代入すると $$4\vec a_n\cdot\vec b_n =16(t-1)-1+(17-t)(t+1) =t(32-t).$$ 直交条件より $t(32-t)=0$。$t=2^n>0$ だから $2^n=32$、従って $n=5$。

(1)は初項に公比2の項を足す等比数列の和です。(2)では$y_n$の逆数を$z_n$と置くと、一次漸化式になります。定数解$\displaystyle -\frac14$を引くと等比数列が得られます。(3)では$x_n=2^n-1$と$\displaystyle \frac1{y_n}$を内積に代入し、$t=2^n$と置いて整理すると$t(32-t)=0$です。$t$は正なので$n=5$となります。