九州大学 2022年数学第1問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

九州大学2022年度第1問

（配点50点。）この問題の解答は，解答紙15の定められた場所に記入しなさい。

座標空間内の5点 $\mathrm{O}(0,0,0),\quad \mathrm{A}(1,1,0),\quad \mathrm{B}(2,1,2),\quad \mathrm{P}(4,0,-1),\quad \mathrm{Q}(4,0,5)$ を考える。3点 $\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ を通る平面を $\alpha$ とし， $\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおく。以下の問いに答えよ。

(1) ベクトル $\vec{a},\vec{b}$ の両方に垂直であり， $x$ 成分が正であるような，大きさが1のベクトル $\vec{n}$ を求めよ。

(2) 平面 $\alpha$ に関して点 $\mathrm{P}$ と対称な点 $\mathrm{P}'$ の座標を求めよ。

(3) 点 $\mathrm{R}$ が平面 $\alpha$ 上を動くとき， $|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|+|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}|$ が最小となるような点 $\mathrm{R}$ の座標を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \vec n=\left(\frac23,-\frac23,-\frac13\right)$ 。 (2) $P^{\prime}=(0,4,1)$ 。 (3) $R=(3,1,4)$ 、最小値 $4\sqrt3$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\vec n=(x,y,z)$ とすると、垂直条件は $x+y=0,\qquad 2x+y+2z=0.$ ゆえに $\vec n=x(1,-1,-1/2)$ 。単位長条件から $9x^2/4=1$ 、x成分正より $\vec n=(2/3,-2/3,-1/3)$ 。 (2) 法線 $\vec m=3\vec n=(2,-2,-1)$ より平面は $\alpha:\ 2x-2y-z=0.$ Pから垂線の足Hを $H=P+t\vec m$ とおくと、平面条件より $9+9t=0$ 、したがって $H=(2,2,0)$ 。対称点は $P'=2H-P=(0,4,1).$ (3) PとQは平面の同じ側にあり、P′は反対側にある。反射により、平面上の任意のRについて $PR=P'R$ 。よって $PR+RQ\ge P'Q$ で、等号は線分P′Qと平面の交点で成立する。線分を $X(t)=(4t,4-4t,1+4t)$ とおいて平面式に代入すると $12t-9=0$ 、すなわち $t=3/4$ 。よって $R=(3,1,4)$ 、最小値は $|P'Q|=4\sqrt3$ 。

この問題で使う考え方

内積による直交判定
平面の法線方程式
垂線の足と点対称
反射を用いた最短経路

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。