2北海道大学 2022年 数学 第2問解答・解説

点 $Q_n$ の座標を $(u_n,v_n)$ とし、位置ベクトルを $\boldsymbol p_n=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}_n}$、$\boldsymbol q_n=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{Q}_n}$ とおく。与式を位置ベクトルで表すと $$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol p_{n+1}&=\boldsymbol p_n+(1-a)(\boldsymbol q_n-\boldsymbol p_n)=a\boldsymbol p_n+(1-a)\boldsymbol q_n,\\ \boldsymbol q_{n+1}&=\boldsymbol q_n+\left(0,\frac{a^{-n}}{1-a}\right). \end{aligned}$$ したがって、成分について $$\displaystyle x_{n+1}=ax_n+(1-a)u_n,\qquad y_{n+1}=ay_n+(1-a)v_n, \qquad u_{n+1}=u_n,\qquad v_{n+1}-v_n=\frac{a^{-n}}{1-a}.$$

(1) $u_{n+1}=u_n$ より $(1-a)u_{n+1}=x_{n+1}-ax_n$ である。これを $x_{n+2}=ax_{n+1}+(1-a)u_{n+1}$ に代入すると $$x_{n+2}=(a+1)x_{n+1}-ax_n.$$

(2) 特性方程式は $$r^2-(a+1)r+a=(r-1)(r-a)=0.$$ $a\ne1$ なので二根は異なり、$x_n=C+Da^{n-1}$ とおける。初期条件から $C+D=0$、$C+aD=1$ であるから $C=-1/(a-1)$、$D=1/(a-1)$。よって $$\displaystyle x_n=\frac{a^{n-1}-1}{a-1}.$$

(3) $y_{n+1}-ay_n=(1-a)v_n$ と、$v_{n+1}-v_n=a^{-n}/(1-a)$ の式を隣り合う添字で引くと $$y_{n+2}-(a+1)y_{n+1}+ay_n=a^{-n}.$$ $K=a^2/((a-1)^2(a+1))$ とおき、$y_n=K(a^{n-1}+a^{-n})$ とする。左辺に代入すると $$\displaystyle K a^{-n}\left(a^{-2}-(a+1)a^{-1}+a\right) =K a^{-n}\frac{(a-1)^2(a+1)}{a^2}=a^{-n}.$$ また $$\displaystyle y_1=K(1+a^{-1})=\frac{a}{(a-1)^2},\qquad y_2-y_1=K(a-1)(1-a^{-2})=1.$$ この式は漸化式と初期条件を満たす。二階漸化式の解は初期値で一意に定まるので、求める一般項は $$\displaystyle y_n=\frac{a^2}{(a-1)^2(a+1)}\left(a^{n-1}+a^{-n}\right).$$