5東北大学 2022年 数学 第5問解答・解説

$\vec a=(1,2,1),\ \vec b=(1,1,-1),\ \vec c=(0,0,1)$ とおく。内積を計算すると、$\vec a\cdot\vec a=6$、$\vec b\cdot\vec b=3$、$\vec a\cdot\vec b=2$、$\vec c\cdot\vec a=1$、$\vec c\cdot\vec b=-1$ である。

(1) $B_n=t_n\vec b+\vec c$ から $A_n=s_n\vec a$ への垂線の方向は $\vec b$ と直交するから、 $$\displaystyle (B_n-A_n)\cdot\vec b=3t_n-1-2s_n=0, \qquad t_n=\frac{2s_n+1}{3}.$$ また、$B_n$ から $\ell$ への垂線の足は $A_{n+1}=s_{n+1}\vec a$ なので、 $$(B_n-A_{n+1})\cdot\vec a=2t_n+1-6s_{n+1}=0.$$ したがって $$\displaystyle s_{n+1}=\frac{2t_n+1}{6}=\frac{4s_n+5}{18}.$$

(2) $s_1=0$ であり、(1) の漸化式は $$\displaystyle s_{n+1}-\frac5{14}=\frac29\left(s_n-\frac5{14}\right)$$ と書ける。よって $$\displaystyle s_n=\frac5{14}\left(1-\left(\frac29\right)^{n-1}\right),\qquad t_n=\frac{2s_n+1}{3}=\frac47-\frac5{21}\left(\frac29\right)^{n-1}.$$ $0<2/9<1$ より $(2/9)^{n-1}\to0$ だから、 $$\displaystyle S=\lim\limits _{n\to\infty}s_n=\frac5{14},\qquad T=\lim\limits _{n\to\infty}t_n=\frac47.$$

(3) 求めた値から $$\displaystyle A=S\vec a=\frac1{14}(5,10,5),\qquad B=T\vec b+\vec c=\frac1{14}(8,8,6),$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{AB}=B-A=\frac1{14}(3,-2,1).$$ すると $$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\vec a=\frac{3-4+1}{14}=0, \qquad \overrightarrow{AB}\cdot\vec b=\frac{3-2-1}{14}=0.$$ $\vec a,\vec b$ はそれぞれ $\ell,\ell'$ の方向ベクトルであり、$\overrightarrow{AB}\neq\vec{0}$ なので、直線 $AB$ は $\ell,\ell'$ の両方と直交する。