6東北大学 2022年 数学 第6問解答・解説

% Adopted local quality copy; source page renders and all original answer files are preserved. 解答 円柱の底面を $z=0$、上面を $z=\sqrt3$ とし、軸を $z$ 軸にとる。球の中心は原点である。高さ $z$ の水平断面で、球の円板の半径の二乗は $r^2-z^2$、円柱の円板の半径の二乗は $1$ だから、共通部分の断面積は $$\displaystyle A(z)=\pi\min\{1,r^2-z^2\}\quad(0\le z\le\min\{r,\sqrt3\})$$ である。$r>1$ では両断面の半径が等しくなる高さを $a=\sqrt{r^2-1}$ とおく。

$0\le r\le1$: $$\displaystyle V(r)=\pi\int_0^r(r^2-z^2)\,dz=\frac{2\pi r^3}{3}.$$

$1<r\le\sqrt3$: $a<r\le\sqrt3$ より $$\displaystyle \begin{aligned} V(r)&=\pi\left(a+\int_a^r(r^2-z^2)\,dz\right)\\ &=\frac{2\pi}{3}\left(r^3-a^3\right) =\frac{2\pi}{3}\left(r^3-(r^2-1)^{3/2}\right). \end{aligned}$$

$\sqrt3<r<2$: $a<\sqrt3<r$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} V(r)&=\pi\left(a+\int_a^{\sqrt3}(r^2-z^2)\,dz\right)\\ &=\pi\left(\sqrt3(r^2-1)-\frac23a^3\right)\\ &=\pi\left(\sqrt3(r^2-1)-\frac23(r^2-1)^{3/2}\right). \end{aligned}$$

$r\ge2$: 円柱内では $\rho^2+z^2\le1+3=4$ だから、球が円柱全体を含む。よって $V(r)=\pi\sqrt3$。

以上より $$\displaystyle V(r)=\begin{cases} \dfrac{2\pi r^3}{3},&0\le r\le1,\\[3pt] \dfrac{2\pi}{3}\left(r^3-(r^2-1)^{3/2}\right),&1<r\le\sqrt3,\\[3pt] \pi\left(\sqrt3(r^2-1)-\dfrac23(r^2-1)^{3/2}\right),&\sqrt3<r<2,\\[3pt] \pi\sqrt3,&r\ge2. \end{cases}$$ 隣接する式は $r=1,\sqrt3,2$ で一致する。

高校範囲・方法: 球と円柱の断面を比較し、定積分による体積を用いた。