6東京大学 2023年 数学 第6問解答・解説

立方体内部の点は条件を満たし、境界は体積に影響しない。まず線分 OP 自体で到達する外部領域を考える。線分が立方体から出るとき、表面 $S$ を避けてそのまま進めるのは、正の $z$ 成分が最大となり上面から出る場合である。球 $x^2+y^2+z^2\le3$ の方向を、絶対値最大となる座標成分と符号によって分けると6つの合同な領域になる。正の $z$ 成分が最大となる領域の体積は球の $1/6$ で $2\pi\sqrt3/3$。この領域の立方体内の部分は、底面積4、高さ1の四角錐で、体積は $4/3$。したがって上面から直接届く外部部分の体積は $$\displaystyle D=\frac{2\pi\sqrt3}{3}-\frac43.$$ 球内で $z<-1$ の点は、条件 (iv) を満たす線分 $ON$ が上面から立方体を出る必要があるため $ON\ge1$、また $NP\ge1-z>2$ となり、長さの上限を超えて到達しない。したがって、上面直達以外に検討すべき外部点は側面の陰にある点だけである。

直接届かない側面の陰の点を考える。例えば $x>1$ で上面直達の条件 $z\ge x$ を満たさない点 $P=(x,v,z)$ では、折れ線の $xz$ 平面への射影は側面の遮蔽部分を避けて上端 $(1,1)$ を回る必要がある。$d=\sqrt{(x-1)^2+(z-1)^2}$ と置くと、射影経路の長さは少なくとも $\sqrt2+d$、辺方向の総変位は $|v|$ である。三角不等式（Minkowski の不等式）より折れ線全体の長さは $$\sqrt{(\sqrt2+d)^2+v^2}$$ 以上となる。この下限は上辺上の $A_u=(1,u,1)$ を折点とする経路で達成できる。実際、その長さは $\sqrt{2+u^2}+\sqrt{d^2+(v-u)^2}$ であり、$u=\sqrt2v/(\sqrt2+d)$ とすればよい。予算 $\sqrt3$ 以下となるには $$|v|\le1,\qquad d\le r(v):=\sqrt{3-v^2}-\sqrt2$$ が必要十分であり、このとき選んだ $u$ は $-1\le u\le1$ を満たす。特に $|v|>1$ の領域（隣接する側面の外まで出る角の部分）は、下限が $\sqrt{2+v^2}>\sqrt3$ なので到達しない。同じ議論を正負の $x,y$ 方向の4本の上辺に適用する。外部点が隣り合う二つの側面の外まで出ている場合は、どちらかの辺方向座標が $|v|>1$ となるため上の下限で除外される。ゆえに、上面直達以外に加わる外部領域はこの4つの辺の側面領域だけである。

固定した $v$ で見ると、正の $x$ 側の到達領域は上辺を中心とする半径 $r(v)$ の半円であり、断面積は $\pi r(v)^2/2$。そのうち既に上面から直接届く部分は $z\ge x$、すなわち $w=z-1\ge t=x-1$ の扇形である。この扇形の角は $\pi/4$ なので面積は $\pi r(v)^2/8$。よって直接領域に加える側面部分は、上辺1本あたり $$\displaystyle \frac{3\pi}{8}\int_{-1}^{1}r(v)^2\,dv.$$ 到達する追加部分では他の水平座標が $|v|\le1$ なので、4辺の追加領域は互いに重ならない。

$\sin\alpha=1/\sqrt3$ と置き、$v=\sqrt3\sin\theta$ と置換すると $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\sqrt{3-v^2}\,dv=3\int_{-\alpha}^{\alpha}\cos^2\theta\,d\theta=3\alpha+\sqrt2.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} I:=\int_{-1}^{1}r(v)^2\,dv &=\int_{-1}^{1}(\sqrt{3-v^2}-\sqrt2)^2\,dv\\ &=\frac{28}{3}-2\sqrt2(3\alpha+\sqrt2)=\frac{16}{3}-6\sqrt2\alpha. \end{aligned}$$ 4辺分の追加体積は $\displaystyle 4\cdot\frac{3\pi}{8}I=8\pi-9\sqrt2\pi\alpha$。立方体の体積8と外部の直接領域 $D$ を加えると $$\displaystyle \operatorname{Vol}(W)=8+D+8\pi-9\sqrt2\pi\alpha=\frac{20+2\pi\sqrt3}{3}+8\pi-9\sqrt2\pi\alpha.$$