2東京大学 2023年 数学 第2問解答・解説

各玉を区別して考えても，どの色の並びにも対応する玉の順序は $3!4!5!$ 通りで一定だから，色の並びは等確率である。

(1) 赤玉以外の8個の並びは $\displaystyle \binom{8}{3}$ 通り。これらの前後および間にできる9個の隙間から4個を選び，赤玉を1個ずつ置けば，赤玉同士は隣り合わない。よって $$\displaystyle p=\frac{\binom{8}{3}\binom{9}{4}}{\dfrac{12!}{3!4!5!}} =\frac{56\cdot126}{27720} =\frac{14}{55}.$$

(2) 赤玉が隣り合わない並びは $\displaystyle \binom{8}{3}\binom{9}{4}=7056$ 通り。黒玉も隣り合わない並びを数えるため，白玉5個を先に置く。白玉の前後および間の6個の隙間の各々には，赤玉と黒玉が交互に並ぶ列が入る。$u$ を赤玉1個，$v$ を黒玉1個に対応させると，1隙間の列の生成多項式は必要な次数まで $$G(u,v)=1+u+v+2uv+u^2v+uv^2+2u^2v^2+u^3v^2+u^2v^3+2u^3v^3+u^4v^3.$$ したがって条件をともに満たす色の並びの数は $[u^4v^3]G(u,v)^6=4326$ 通りである（非空の隙間の個数を1から6とした場合の内訳は $6,180,1080,1920,1020,120$ 通り）。ゆえに $$\displaystyle q=\frac{4326}{7056}=\frac{103}{168}.$$