4東京大学 2023年 数学 第4問解答・解説

点 $P=(p,q,s)$ とおく。(1)の条件を成分で表すと $$2p=0,\qquad p+q+s=0,\qquad p+2q+3s=1.$$ したがって $p=0,\ q+s=0,\ 2q+3s=1$ から $q=-1,\ s=1$ となり、 $$P=(0,-1,1).$$

(2)では $\overrightarrow{AB}=(-1,1,1)$ であり、垂足 $H$ を $$H=A+t\overrightarrow{AB}$$ とおく。条件 $\overrightarrow{PH}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ より $$\displaystyle t=\frac{(P-A)\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2} =\frac{(-2,-1,1)\cdot(-1,1,1)}{3}=\frac23.$$ よって $$\displaystyle H=\left(\frac43,\frac23,\frac23\right) =\frac13\overrightarrow{OA}+\frac23\overrightarrow{OB}.$$

(3)の点 $Q$ は $$\displaystyle Q=\frac34 A+P=\left(\frac32,-1,1\right)$$ である。$h=\overrightarrow{OH}=(4/3,2/3,2/3)$、$b=\overrightarrow{OB}=(1,1,1)$、$q=\overrightarrow{OQ}$ とする。$T$ を辺 $OH$ 上の点 $\displaystyle \overrightarrow{OT}=\frac34h=(1,1/2,1/2)$ と定める。$Q-T=(1/2,-3/2,1/2)$ なので $$\displaystyle |Q-T|^2=\frac{11}{4},\qquad (q-\overrightarrow{OT})\cdot h=0,\qquad (q-\overrightarrow{OT})\cdot b=-\frac12.$$ 三角形 $OHB$ 上の任意の点 $X$ は $\overrightarrow{OX}=\alpha h+\beta b$（$\alpha,\beta\ge0,\ \alpha+\beta\le1$）と表せる。このとき $$\displaystyle (q-\overrightarrow{OT})\cdot(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OT})=-\frac{\beta}{2}\le0,$$ したがって $$\displaystyle |Q-X|^2=|Q-T|^2+|X-T|^2-2(q-\overrightarrow{OT})\cdot(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OT})\ge |Q-T|^2=\frac{11}{4}.$$ 等号は $X=T$ で成り立つから、三角形上での最短距離は $\sqrt{11}/2$ である。

三角形の頂点までの距離は $$\displaystyle |Q-O|^2=\frac{17}{4},\qquad |Q-H|^2=\frac{35}{12},\qquad |Q-B|^2=\frac{17}{4}.$$ 三角形内の点は3頂点の凸結合であり、三角不等式によりその点から $Q$ までの距離は頂点距離の最大値を超えない。従って最長距離は $\sqrt{17}/2$ である。線分 $OT$ は三角形内にあり、距離 $|Q-X|$ はその上で連続に最小値から $|Q-O|=\sqrt{17}/2$ まで変化する。よって球面と三角形が共有点を持つ半径の範囲は $$\displaystyle \boxed{\frac{\sqrt{11}}{2}\le r\le\frac{\sqrt{17}}{2}}.$$