6東邦大学 2023年 数学 第6問解答・解説

問題の交点 $Q,R$ がそれぞれ一意に定まる設定では、$A,B,C$ は同一直線上にはない（同一直線上なら、交わるはずの二直線は一致するか、$AP$ などの直線自体が定まらない）ので、以下では $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の係数を比較できる。

$A$ を原点とし、$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol b$、$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol c$ とする。問題の係数の和は $2-3+6=5$ なので、平行移動しても点の関係は保たれ、 $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{-3\boldsymbol b+6\boldsymbol c}{5}.$$ 直線 $AP$ 上の点は $\lambda\overrightarrow{AP}$、直線 $BC$ 上の点は $(1-s)\boldsymbol b+s\boldsymbol c$ と表せる。係数を比較すると $$\displaystyle -\frac{3\lambda}{5}=1-s,\qquad \frac{6\lambda}{5}=s,$$ ゆえに $\lambda=5/3$、$s=2$。従って $\overrightarrow{AQ}=(5/3)\overrightarrow{AP}$ であり、$AP/AQ=3/5$。

次に、直線 $BP$ 上の点を $\boldsymbol b+u(\overrightarrow{AP}-\boldsymbol b)$ と表す。これが直線 $AC$ 上にあるためには $\boldsymbol b$ の係数が $0$ であるから $$\displaystyle 1-\frac{8u}{5}=0,\qquad u=\frac58.$$ したがって $R$ は $B$ から $P$ へ $5/8$ 進んだ点、すなわち $BR=(5/8)BP$。よって $BP/BR=8/5$。