10東邦大学 2023年 数学 第10問解答・解説

$u=\sin x+\cos x$ とおく。$x=\pi/2$ の近くでは $u>0$ だから対数をとることができる。$F=\log f$ とおくと $$F=(5u+\log u)\log u=5u\log u+(\log u)^2.$$ $u$ の関数として微分すれば $$\displaystyle F_u=5(\log u+1)+\frac{2\log u}{u},\qquad F_{uu}=\frac5u+\frac{2(1-\log u)}{u^2}.$$ したがって $u=1$ では $F=0$、$F_u=5$、$F_{uu}=7$。また $$\displaystyle u\left(\frac\pi2\right)=1,\quad u'\left(\frac\pi2\right)=-1, \quad u''\left(\frac\pi2\right)=-1.$$ 合成関数の微分より $F'(\pi/2)=F_u u'=-5$、 $$\displaystyle F''\left(\frac\pi2\right)=F_{uu}(u')^2+F_u u''=7-5=2.$$ $f=e^F$ なので $f'=fF'$、$f''=f\{(F')^2+F''\}$。ここで $f(\pi/2)=e^{F}=1$ より $$\displaystyle f'\left(\frac\pi2\right)=-5,\qquad f''\left(\frac\pi2\right)=(-5)^2+2=27.$$