1金沢大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) $$\displaystyle f(x)=\cos x-\frac{1}{1+x},\qquad f'(x)=-\sin x+\frac{1}{(1+x)^2},\qquad f''(x)=-\cos x-\frac{2}{(1+x)^3}.$$ $0<x<\pi/2$ では $f''(x)<0$ なので $f'$ は異なる $x$ に対して同じ値をとらずに減少する。また $$\displaystyle f'(0)=1>0,\qquad f'\!\left(\frac\pi2\right)=\frac{1}{(1+\pi/2)^2}-1<0.$$ $f'$ は連続であるから、中間値の定理と、異なる $x$ に対して同じ値をとらないことにより、$f'(\alpha)=0$ となる $\alpha$ は $0<\alpha<\pi/2$ の範囲にただ1つ存在する。

(2) (1)より、$f'(x)>0$ は $0<x<\alpha$ で、$f'(x)<0$ は $\alpha<x<\pi/2$ で成り立つ。したがって $f$ は $0<x<\alpha$ で増加し、$\alpha<x<\pi/2$ で減少する。さらに $$\displaystyle f(0)=0,\qquad f\!\left(\frac\pi2\right)=-\frac{1}{1+\pi/2}<0.$$ よって $0<x\leq\alpha$ では $f(x)>0$ であり、$f(\alpha)>0$ から $f(\pi/2)<0$ まで異なる $x$ に対して同じ値をとらずに減少する区間 $\alpha<x<\pi/2$ に、$f(\beta)=0$ となる $\beta$ がただ1つ存在する。これ以外に $0<x<\pi/2$ の範囲の解はない。

(3) $F'(x)=f(x)$ であり、(2)より $f(x)>0$ は $0<x<\beta$、$f(x)<0$ は $\beta<x<\pi/2$ で成り立つ。従って $F$ は $0\le x\le\beta$ で増加し、$\beta\le x\le\pi/2$ で減少する。$F(0)=0$ なので、$0<x\leq\beta$ では $F(x)>0$ である。

端点でも正であることを示す。$0\leq t\leq1$ では $$\displaystyle \frac{1}{1+t^2}\leq 1-\frac{t^2}{2},$$ なぜなら $\displaystyle \left(1-\frac{t^2}{2}\right)(1+t^2)-1=\frac{t^2(1-t^2)}2\geq0$ だからである。よって $$\displaystyle \frac\pi4=\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}<\int_0^1\left(1-\frac{t^2}{2}\right)dt=\frac56,$$ 従って $\displaystyle \pi<\frac{10}{3}$ である。したがって $$\displaystyle 1+\frac\pi2<\frac83<2.7<e,$$ ゆえに $F(\pi/2)=1-\log(1+\pi/2)>0$ となる。(2)で $F$ は $\beta\le x\le\pi/2$ で減少するから、その区間では $F(x)\geq F(\pi/2)>0$ である。以上より $0<x<\pi/2$ で $F(x)>0$ が成り立つ。

(4) (3)より、求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\pi/2}\bigl(\sin x-\log(1+x)\bigr)\,dx\\ &=\left[-\cos x-(1+x)\log(1+x)+(1+x)\right]_0^{\pi/2}\\ &=1+\frac\pi2-\left(1+\frac\pi2\right)\log\left(1+\frac\pi2\right)\\ &=\left(1+\frac\pi2\right)\left(1-\log\left(1+\frac\pi2\right)\right). \end{aligned}$$