2金沢大学 2023年 数学 第2問解答・解説

大問2

$P=(a,b,2)$, $Q=(x,y,0)$ とする。線分 $PQ$ を $P+t(Q-P)$（$0\leq t\leq1$）と表すと、その $z$ 座標は $2-2t$ である。平面 $z=1$ と交わるのは $\displaystyle t=\frac12$ のときで、交点は $$\displaystyle \left(\frac{a+x}{2},\frac{b+y}{2},1\right).$$ 従って線分 $PQ$ が円板 $B$ と共有点をもつ必要十分条件は $$\displaystyle \left(\frac{a+x}{2}\right)^2+\left(\frac{b+y}{2}\right)^2\leq1, \quad\text{すなわち}\quad (x+a)^2+(y+b)^2\leq4.$$

(1)

$P=(0,0,2)$ なので $a=b=0$。よって $$\boxed{D:\ x^2+y^2\leq4}.$$ これは $xy$ 平面上で中心 $(0,0)$、半径2の円板（境界を含む）である。

(2)

$P=(r,0,2)$ なので $a=r,b=0$。従って $$\boxed{D:\ (x+r)^2+y^2\leq4}.$$ これは中心 $(-r,0)$、半径2の円板（境界を含む）である。

(3)

$P=(a,b,2)$ が $a^2+b^2=r^2$ 上を動く。固定した $Q=(x,y,0)$ とこの円周上の $P$ について、$PQ$ の水平距離の最小値を考える。$Q$ の原点からの距離を $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ とし、$P$ の水平位置を極角 $\phi$ で表せば $$(x+a)^2+(y+b)^2=\rho^2+r^2+2r\rho\cos\phi$$ （$\phi$ は $Q$ の方向と $P$ の方向の角度差）。$P$ を円周全体で動かしたときの最小値は $\cos\phi=-1$ で得られ、水平距離の最小値は $|\rho-r|$ となる。したがって、ある $P$ に対して 点 $Q$ が領域 $D$ に含まれる条件は $$|\rho-r|\leq2.$$ $r>2$ より、$D$ が通過する領域は半径 $r-2$ と $r+2$ の円にはさまれた環状領域 $$\boxed{r-2\leq\sqrt{x^2+y^2}\leq r+2}$$ である。境界も含まれるので面積は $$\boxed{\pi(r+2)^2-\pi(r-2)^2=8\pi r}.$$