4金沢大学 2023年 数学 第4問解答・解説

$\omega$ は $|\omega|=1$、$\omega+\bar\omega=-1$ を満たします。

(1) $|k+m\omega|^2=(k+m\omega)(k+m\bar\omega)=k^2+km(\omega+\bar\omega)+m^2=k^2-km+m^2$ で整数です。

(2) $|k+\omega|^2=k^2-k+1$ です。これは上に開く二次式なので、区間 $-L\le k\le L$ で最大なのは端点のどちらかです。 $$k=-L\text{ では }L^2+L+1,\qquad k=L\text{ では }L^2-L+1.$$ なので最大値は $L^2+L+1$、元の絶対値の最大はその平方根です。

(3) $k,m,k-m$ の絶対値がすべて $L$ 以下です。$Q=k^2-km+m^2=|k+m\omega|^2$ を考えます。$km\le0$ なら $$|k-m|=|k|+|m|\le L$$ であり、 $$Q\le(|k|+|m|)^2\le L^2$$ です。 $km\ge0$ なら $k,m$ は同符号（または一方 $0$）です。$a=|k|,\ b=|m|$ とし、例えば $a\ge b$ なら $$Q=a^2-ab+b^2=a^2-b(a-b)\le a^2\le L^2.$$ $b\ge a$ の場合も同様です。従って $|k+m\omega|\le L$ です。

(4) (3) の3条件を満たす組はすべて、数える円内に入ります。固定した整数 $k$ で数えると、 $$-L\le k\le0\text{ では }-L\le m\le k+L\text{ なので }k+2L+1\text{ 個},$$ $$1\le k\le L\text{ では }k-L\le m\le L\text{ なので }2L-k+1\text{ 個}$$ です。 合計は $$\displaystyle \sum\limits _{k=-L}^{0}(k+2L+1)+\sum\limits _{k=1}^{L}(2L-k+1)=3L^2+3L+1.$$ よって $N$ はこの数以上です。