1九州大学 2007年 数学 第1問解答・解説

準備

f(x)=xe^{x} とすると

f'(x)=e^{x}+xe^{x}=(x+1)e^{x},　　 f''(x)=e^{x}+(x+1)e^{x}=(x+2)e^{x}

である。点 $P(p,f(p))$（$p\geq0$）における接線は

g(x)=f(p)+f'(p)(x-p)=pe^{p}+(p+1)e^{p}(x-p)

であり，これを整理すると

g(x)=(p+1)e^{p}x-p^{2}e^{p}

を得る。特に $g(p)=f(p)=pe^{p}$，$g'(x)=(p+1)e^{p}$（$x$ によらない定数）である。

(1) $x\geq0$ において $f(x)\geq g(x)$ が成り立つことを示す。

$h(x)=f(x)-g(x)\quad(x\geq0)$

とおく。定義から $h(p)=f(p)-g(p)=0$ である。

h'(x)=f'(x)-g'(x)=(x+1)e^{x}-(p+1)e^{p}

であるから，特に $h'(p)=(p+1)e^{p}-(p+1)e^{p}=0$ である。さらに

h''(x)=f''(x)=(x+2)e^{x}

であり，$x\geq0$ のとき $x+2>0$，$e^{x}>0$ より $h''(x)>0$ となる。ゆえに $h'(x)$ は $x\ge0$ の範囲で単調増加である。

場合分け.

$p=0$ のとき：$h'(x)$ は $x\ge0$ で単調増加かつ $h'(0)=0$ であるから，$x>0$ で $h'(x)>0$。したがって $h(x)$ は $x\ge0$ で単調増加（$x>0$ で増加）であり，$h(x)\geq h(0)=0$（等号は $x=0=p$ のときに限る）。

$p>0$ のとき：$h'(x)$ の単調増加性と $h'(p)=0$ より，$0\leq x<p$ では $h'(x)<h'(p)=0$，$x>p$ では $h'(x)>h'(p)=0$。よって $h(x)$ は $0\le x\le p$ で単調減少，$x\ge p$ で単調増加であり，$x\ge0$ の範囲の最小値は $h(p)=0$ で与えられる。ゆえに $h(x)\geq h(p)=0$（等号は $x=p$ のときに限る）。

いずれの場合も $x\geq0$ で $h(x)=f(x)-g(x)\geq0$，すなわち

$f(x)\geq g(x)\quad(x\geq0)$

が成り立つ。（証明終）

(2) $S(p)$ の最小値を与える $p$ の値を求める。

(1) により，$p\geq0$ のとき $x\geq0$ の全域で $f(x)\geq g(x)$ であるから，特に $0\le x\le L$ の範囲でも $f(x)\geq g(x)$ が成り立つ。したがって曲線 $y=f(x)$，接線 $y=g(x)$，および2直線 $x=0,\ x=L$ で囲まれた部分の面積は

$\displaystyle S(p)=\int_0^L(f(x)-g(x))\,dx=\int_0^L\left(xe^x-(p+1)e^px+p^2e^p\right)dx$

で与えられる。部分積分により

$\displaystyle \int_{0}^{L}$xe^{x} dx=$\Bigl[$xe^{x}-e^{x}$\Bigr]_{0}^{L}$=(L-1)e^{L}-(-1)=(L-1)e^{L}+1

であり，また

$\displaystyle \int_{0}^{L}$(p+1)e^{p}x dx=(p+1)e^{p}$\cdot$$\displaystyle \frac{L^{2}}{2}$,　　$\displaystyle \int_{0}^{L}$p^{2}e^{p} dx=p^{2}e^{p}L

であるから，

S(p)=(L-1)e^{L}+1-$\displaystyle \frac{L^{2}}{2}$(p+1)e^{p}+Lp^{2}e^{p}

を得る。右辺第1・2項は $p$ によらない定数なので，これを $C=(L-1)e^{L}+1$ とおき

A(p)=-$\displaystyle \frac{L^{2}}{2}$(p+1)e^{p}+Lp^{2}e^{p}

とすると $S(p)=C+A(p)$ である。積の微分法により

$\displaystyle \frac{d}{dp}$$\bigl[$(p+1)e^{p}$\bigr]$=e^{p}+(p+1)e^{p}=(p+2)e^{p},　　 $\displaystyle \frac{d}{dp}$$\bigl[$p^{2}e^{p}$\bigr]$=2pe^{p}+p^{2}e^{p}=p(p+2)e^{p}

であるから

$\displaystyle A^\prime(p)=-\frac{L^2}{2}(p+2)e^p+Lp(p+2)e^p=(p+2)e^p\left(Lp-\frac{L^2}{2}\right)=L(p+2)e^p\left(p-\frac L2\right)$

となる。$L>0$ は定数，$p\geq0$ のとき $p+2>0$，$e^{p}>0$ であるから，$S'(p)=A'(p)$ の符号は $\displaystyle p-\dfrac{L}{2}$ の符号と一致する。したがって

0$\leq$ p<$\displaystyle \frac{L}{2}$ で S'(p)<0,　　 p=$\displaystyle \frac{L}{2}$ で S'(p)=0,　　 p>$\displaystyle \frac{L}{2}$ で S'(p)>0

であり，$S(p)$ は $\displaystyle 0\le p\le\dfrac L2$ で単調減少，$\displaystyle p\ge\dfrac L2$ で単調増加である。$L>0$ より $\displaystyle \dfrac{L}{2}>0$ は定義域 $p\geq0$ に含まれるから，$S(p)$（$p\geq0$）は $\displaystyle p=\dfrac{L}{2}$ で最小値をとる。

以上より，$S(p)$ の最小値を与える $p$ の値は

p=$\displaystyle \frac{L}{2}$

である。