4東邦大学 2023年 数学 第4問解答・解説

$B=(0,0)$、$C=(2\sqrt6,0)$ とおく。$AB=5$、$AC=3$ より、$A=(u,v)$ の $u$ 座標は $$\displaystyle u=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2BC} =\frac{25+24-9}{4\sqrt6}=\frac{5\sqrt6}{3}.$$ また $u^2+v^2=25$ で、$v>0$ としてよいから $v=5\sqrt3/3$。従って $A=(5\sqrt6/3,5\sqrt3/3)$。

角 $C$ について余弦定理から $$\displaystyle \cos C=\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2\cdot BC\cdot AC} =\frac{24+9-25}{12\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{9}, \qquad \sin C=\frac{5\sqrt3}{9}.$$ 正弦定理 $AB=2R\sin C$ より $$\displaystyle R=\frac5{2(5\sqrt3/9)}=\frac{3\sqrt3}{2}.$$

角の二等分線の定理より $BD:DC=AB:AC=5:3$ だから $$D=(5\sqrt6/4,0).$$ 外心を $O=(\sqrt6,k)$ とおくと、$OB=OC$ から第1成分が $\sqrt6$ である。さらに $OA=OB$ より $$\displaystyle \left(\frac{2\sqrt6}{3}\right)^2+\left(\frac{5\sqrt3}{3}-k\right)^2=6+k^2,$$ これを解いて $k=\sqrt3/2$。ゆえに $O=(\sqrt6,\sqrt3/2)$ であり、 $$\displaystyle OD^2=\left(\frac{\sqrt6}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac98.$$ したがって $OD=3\sqrt2/4$。