2熊本大学 2003年 数学 第2問解答・解説

正三角形の一辺を $s$ とし，$PA=x,\ QB=y,\ PC=z$ とおく。$\angle APC=\angle AQB=\angle BRC=60^\circ$ であるから，正弦定理より，$$\displaystyle r_1=\frac{CA}{2\sin60^\circ}=\frac{b}{\sqrt3},\qquad r_2=\frac{AB}{2\sin60^\circ}=\frac{c}{\sqrt3},\qquad r_3=\frac{BC}{2\sin60^\circ}=\frac{a}{\sqrt3}.$$ 次に，$P=(0,0),\ Q=(s,0),\ R=(s/2,\sqrt3s/2)$ と座標を定めると，$$A=(x,0),\quad B=(s-y/2,\sqrt3y/2),\quad C=(z/2,\sqrt3z/2).$$ 外心の定義（各頂点からの距離が等しいこと）を用いて座標を求める。まず，$O_1=(u,v)$ とすると，$O_1P=O_1A$ より $u=x/2$，また $O_1P=O_1C$ より $u+\sqrt3v=z$ だから，$$\displaystyle O_1=\left(\frac{x}{2},\frac{2z-x}{2\sqrt3}\right).$$ 次に，$O_2=(u,v)$ とすると，$O_2Q=O_2A$ より $u=(s+x)/2$。さらに $O_2Q=O_2B$ より $-(u-s)+\sqrt3v=y$ なので，$$\displaystyle O_2=\left(\frac{s+x}{2},\frac{2y-s+x}{2\sqrt3}\right).$$ 最後に，$O_3-R=(u,v)$ とおく。$O_3R=O_3B$ および $O_3R=O_3C$ より，$u-\sqrt3v=s-y,\ -u-\sqrt3v=s-z$ を得る。これを解いて，$$\displaystyle O_3=\left(\frac{s+z-y}{2},\frac{s+y+z}{2\sqrt3}\right).$$ ここで $t=x+y-z$ とおくと，$$\displaystyle \overrightarrow{O_1O_2}=\left(\frac{s}{2},\frac{2t-s}{2\sqrt3}\right),\quad \overrightarrow{O_2O_3}=\left(-\frac{t}{2},\frac{2s-t}{2\sqrt3}\right),\quad \overrightarrow{O_3O_1}=\left(\frac{t-s}{2},-\frac{s+t}{2\sqrt3}\right).$$ よって，$$\displaystyle O_1O_2^2=\frac{s^2}{4}+\frac{(2t-s)^2}{12}=\frac{s^2+t^2-st}{3},$$ $$\displaystyle O_2O_3^2=\frac{t^2}{4}+\frac{(2s-t)^2}{12}=\frac{s^2+t^2-st}{3},\qquad O_3O_1^2=\frac{(s-t)^2}{4}+\frac{(s+t)^2}{12}=\frac{s^2+t^2-st}{3}.$$ したがって $O_1O_2=O_2O_3=O_3O_1$ であり，$\triangle O_1O_2O_3$ は正三角形である。