熊本大学 2003年数学第3問解答・解説

極限積分法数列

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1問題

熊本大学2003年度第3問

関数 $\displaystyle f(x)=1-\dfrac{x}{\sqrt{10-x^{2}}}$ について，次の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx$ を求めよ。

(2) 関数 $g(x)$ を各区間 $k\leq x\leq k+1\ (k=0,1,2,\ldots)$ において， $\displaystyle g(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{k}f(x-k)$ と定義する。 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{n}g(x)\,dx\quad(n=1,2,3,\ldots)$ とするとき，数列 $\{a_{n}\}$ の極限を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\quad 4-\sqrt{10}$
$\displaystyle (2)\quad \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}a_n=3(4-\sqrt{10})=12-3\sqrt{10}}.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle f(x)=1-\dfrac{x}{\sqrt{10-x^2}}$ だから $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\left[x+\sqrt{10-x^2}\right]_0^1=4-\sqrt{10}.$ 各整数 $k\ge0$ について、置換 $t=x-k$ により $\displaystyle \int_k^{k+1}g(x)\,dx=\left(\frac23\right)^k\int_0^1f(t)\,dt =\left(\frac23\right)^k(4-\sqrt{10}).$ また、区間の共通端点 $x=k$ で左側の値は $(2/3)^{k-1}f(1)=(2/3)^k$ 、右側の値は $(2/3)^kf(0)=(2/3)^k$ だから、 $g$ の定義は整合する。従って $\displaystyle a_n=(4-\sqrt{10})\sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(\frac23\right)^k =3(4-\sqrt{10})\left(1-\left(\frac23\right)^n\right),$ よって $\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}a_n=3(4-\sqrt{10})=12-3\sqrt{10}}.$

この問題で使う考え方

平方根式の定積分
整数区間への分割と置換
有限等比級数
公比が0と1の間の数列の極限

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