4熊本大学 2003年 数学 第4問解答・解説

(1) 第2式の定積分は$x$に依らない定数である。これを $$\displaystyle c=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(f'(t)-\cos t\bigr)\,dt$$ とおくと、$g(x)=\sin x+c$となる。第1式に代入し、部分積分による $$\displaystyle \int_0^x t\cos t\,dt=\bigl[t\sin t+\cos t\bigr]_0^x=x\sin x+\cos x-1$$ を用いると、 $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\int_0^x(\sin t+c+t\cos t)\,dt+\sin x\\ &=1-\cos x+cx+x\sin x+\cos x-1+\sin x\\ &=(x+1)\sin x+cx. \end{aligned}$$ したがって端点の値は $$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}+1+\frac{c\pi}{2},\qquad f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-1-\frac{c\pi}{2}$$ である。一方、$c$の定義より $$\displaystyle \begin{aligned} c&=f\left(\frac{\pi}{2}\right)-f\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\bigl[\sin t\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}\\ &=(2+c\pi)-2=c\pi. \end{aligned}$$ $\pi\ne1$なので、$c=0$である。よって $$\boxed{f(x)=(x+1)\sin x,\qquad g(x)=\sin x}.$$ この2つの関数を第1式の右辺に代入すると、上の積分計算から$(x+1)\sin x=f(x)$を得る。また $$f'(t)-\cos t=\sin t+t\cos t$$ は奇関数なので、その$-\pi/2$から$\pi/2$までの定積分は$0$となり、第2式も満たす。

(2) (1)より$f(x)-g(x)=x\sin x$である。二倍角の公式から $$\displaystyle \begin{aligned} I&=\int_0^\pi(f(x)-g(x))^2\,dx=\int_0^\pi x^2\sin^2x\,dx\\ &=\frac12\int_0^\pi x^2\,dx-\frac12\int_0^\pi x^2\cos2x\,dx. \end{aligned}$$ 最後の積分は、部分積分を2回用いて $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\pi x^2\cos2x\,dx &=\left[\frac{x^2\sin2x}{2}\right]_0^\pi-\int_0^\pi x\sin2x\,dx\\ &=-\left[-\frac{x\cos2x}{2}\right]_0^\pi-\frac12\int_0^\pi\cos2x\,dx\\ &=\frac{\pi}{2}-\left[\frac{\sin2x}{4}\right]_0^\pi=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$$ となる。したがって $$\displaystyle \boxed{I=\frac{\pi^3}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi(2\pi^2-3)}{12}}.$$

第2式の積分を定数cと置き、第1式からfをcを含む形で求める。定義積分の端点値を正しく評価するとc=πcとなるためc=0。これを用いて第2小問を二倍角公式と部分積分で計算する。初期答案A207には端点値の+1の脱落があったが、採用決定はEscalation X207の修正版であり、修正版の式は原問を満たす。