6京都大学 2006年 数学 第6問解答・解説

部分積分により $$\displaystyle F(\theta)=\left[x\sin(x+\alpha)\right]_0^\theta-\int_0^\theta\sin(x+\alpha)\,dx =\theta\sin(\theta+\alpha)+\cos(\theta+\alpha)-\cos\alpha.$$ したがって $$F'(\theta)=\sin(\theta+\alpha)+\theta\cos(\theta+\alpha)-\sin(\theta+\alpha) =\theta\cos(\theta+\alpha).$$ $\displaystyle \theta_0=\frac{\pi}{2}-\alpha$ とおくと、$\displaystyle 0<\theta_0<\frac{\pi}{2}$。$0<\theta<\theta_0$ では $\displaystyle 0<\theta+\alpha<\frac{\pi}{2}$ より $F'(\theta)>0$。また $\displaystyle \theta_0<\theta\leq\frac{\pi}{2}$ では $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta+\alpha<\pi$ より $F'(\theta)<0$。ゆえに最大値は $\theta=\theta_0$ でとり、 $$\displaystyle F(\theta_0)=\theta_0\sin\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{2}-\cos\alpha =\frac{\pi}{2}-\alpha-\cos\alpha.$$