3名古屋大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(1) 正の実数 $t$ に対して、$0<x<t$ では $0<f(x)<1$ である。連続性も用いると $$\displaystyle 0<\int_0^t f(x)\,dx<t$$ を得る。したがって $a_1=1>0$ から帰納的に $$0<a_m<a_{m-1}\qquad(m\ge2)$$ が成り立つ。

(2) 背理法を用いる。$c=1/2002$ とおき、すべての $m$ について $a_m\ge c$ と仮定する。 $$\displaystyle \delta=\int_0^c(1-f(x))\,dx$$ とおけば、$0<x<c$ で被積分関数が正で連続なので $\delta>0$ である。各 $m\ge2$ について $$\displaystyle a_{m-1}-a_m =\int_0^{a_{m-1}}(1-f(x))\,dx \ge\int_0^c(1-f(x))\,dx=\delta.$$ これらを加えると $a_m\le1-(m-1)\delta$ となる。 $m>1+1/\delta$ を満たす自然数を選べば右辺は負となり、(1)の $a_m>0$ に矛盾する。 よって、ある $m$ で $a_m<1/2002$ が成り立つ。