2名古屋大学 2002年 数学 第2問解答・解説

(1) $a=2,\ b=1$ のとき $$\displaystyle D:\ \frac{(x+1)^2}{4}+y^2\leq1.$$ したがって境界は中心 $(-1,0)$、$x$ 軸方向の半径 $2$、$y$ 軸方向の半径 $1$ の楕円であり、その内部を含む。頂点は $(-3,0),(1,0),(-1,1),(-1,-1)$ である。よって図は次のようになる。

(2) 楕円 $D$ の境界を $$x=1-a+a\cos\theta,\qquad y=b\sin\theta \quad(0\leq\theta<2\pi)$$ と表し、$u=1-\cos\theta$ とおくと $0\leq u\leq2$ であり、 $$x=1-au,\qquad y^2=b^2(2u-u^2).$$ したがって境界上では $$x^2+y^2-1 =u\{2(b^2-a)+(a^2-b^2)u\}. \tag{1}$$ 領域 $D$ が領域 $E$ に含まれるなら境界上でも $x^2+y^2-1\leq0$ である。$u>0$ として $u\to0$ とすると $2(b^2-a)\leq0$、すなわち $b^2\leq a$ を得る。また $u=2$ を (1) に代入すると $4a(a-1)\leq0$ である。$a>0$ より $a\leq1$。よって必要条件は $$b^2\leq a\leq1. \tag{2}$$ もともと $a,b>0$ なので、(2) は $0<a\leq1,\ 0<b\leq\sqrt a$ と同じである。

逆に (2) が成り立つとする。(1) の波括弧内を $g(u)$ とおくと、$g(u)$ は $u$ の一次式であり、 $$g(0)=2(b^2-a)\leq0,\qquad g(2)=2a(a-1)\leq0.$$ よって $0\leq u\leq2$ のすべてで $g(u)\leq0$ であり、楕円の境界はすべて $E$ に含まれる。さらに楕円の中心 $(1-a,0)$ は $0\leq1-a<1$ より $E$ に含まれる。楕円の内部の点は中心と境界上の点を結ぶ線分上にあり、円板 $E$ は凸なので、楕円全体が $E$ に含まれる。従って (2) は十分条件でもある。

$a b$ 平面では、$0<a\leq1$ の範囲で $b=0$ より上、$b=\sqrt a$ 以下の部分である。曲線 $b=\sqrt a$ と直線 $a=1$ は含み、$b=0$ および原点は含まない。