1名古屋大学 2002年 数学 第1問解答・解説

(1) $x>0$ とし，$t=1/x>0$ とおく。自然対数について $$\displaystyle h(t)=\ln(1+t)-\frac{t}{1+t}$$ とおくと，$h(0)=0$ であり， $$\displaystyle h'(t)=\frac{1}{1+t}-\frac{1}{(1+t)^2}=\frac{t}{(1+t)^2}>0.$$ したがって $t>0$ で $h(t)>0$，すなわち $$\displaystyle \ln\left(1+\frac1x\right)>\frac{1}{x+1}.$$ 原文の $\log$ には底が印刷されていないので，上の結論は自然対数と読む場合に限る。常用対数なら一律の大小関係は成り立たない。例えば $x=1$ では $\log_{10}2<1/2$，$x=1/100$ では $\log_{10}101>2>100/101$ である。

(2) $$\displaystyle a=\frac{2001}{2002}\quad(0<a<1),\qquad U=(1+a)^{1/a},\qquad W=(1+1/a)^a$$ とおく。対数を取った差は $$\displaystyle \ln U-\ln W=\frac{1-a^2}{a}\ln(1+a)+a\ln a.$$ $u>0$ では $\ln(1+u)>u/(1+u)$ であり，$0<a<1$ では $-\ln a<(1-a)/a$ である。ゆえに $$\displaystyle \frac{1-a^2}{a}\ln(1+a)>1-a>-a\ln a,$$ となり，$\ln U-\ln W>0$。従って $U>W$，すなわち $$\displaystyle \left(1+\frac{2001}{2002}\right)^{\frac{2002}{2001}} >\left(1+\frac{2002}{2001}\right)^{\frac{2001}{2002}}.$$ 検算： $0<a<1$ で用いた不等式は厳密であり，対数関数の単調性により比較の向きが保たれる。