4名古屋大学 2002年 数学 第4問解答・解説

大問4（選択肢(a),(b)）

4(a)

$x,y,z>0$ なので、$u=\log x$, $v=\log y$, $w=\log z$ と置く。各等式を $xyz$ と比べて対数を取ると $$(a-1)u-v-w=0,\qquad -u+(b-1)v-w=0,\qquad -u-v+(c-1)w=0.$$ $(x,y,z)=(1,1,1)$ 以外の解があることは、$(u,v,w)\ne(0,0,0)$ の解があることと同値である。したがって係数行列の行列式が0でなければならず、また0であれば非零解がある。行列式を展開すると $$\begin{vmatrix}a-1&-1&-1\\-1&b-1&-1\\-1&-1&c-1\end{vmatrix} =(a-1)(b-1)(c-1)-(a+b+c-1).$$ よって条件は $$(a-1)(b-1)(c-1)=a+b+c-1.$$ ここで $A=a-1$, $B=b-1$, $C=c-1$ とおくと $0\leq A\leq B\leq C$ で、条件は $$ABC=A+B+C+2.$$ $A=0$ では右辺が正で不可能だから $A\geq1$。

まず $A=1$ とすると $$BC=B+C+3,\qquad (B-1)(C-1)=4.$$ $B\leq C$ を満たす正の因数の組は $(B-1,C-1)=(1,4),(2,2)$ なので、$(B,C)=(2,5),(3,3)$、すなわち $(a,b,c)=(2,3,6),(2,4,4)$ である。

次に $A\geq2$ とする。この場合 $AB-1>0$ なので $$C(AB-1)=A+B+2.$$ $C\geq B$ より $A+B+2\geq B(AB-1)$、従って $$AB^2\leq A+2B+2.$$ もし $B\geq3$ なら、$A\geq2$ から $$AB^2-A-2B-2\geq2B^2-2B-4=2(B-2)(B+1)>0,$$ これは上の不等式に反する。よって $B=2$、従って $A=2$ であり、$C(4-1)=2+2+2$ から $C=2$ を得る。これは $(a,b,c)=(3,3,3)$ である。各組は行列式を0にするので非零対数解をもち、指数関数に戻せば $(1,1,1)$ 以外の正の解が実際に存在する。以上より $$\boxed{(a,b,c)=(2,3,6),\ (2,4,4),\ (3,3,3)}.$$

4(b)(1)

$z=s+it$（$s,t$ は実数）とおくと $$|z+i|^2=s^2+(t+1)^2,\qquad |z-i|^2=s^2+(t-1)^2.$$ 等しいとき $(t+1)^2=(t-1)^2$、すなわち $4t=0$ だから $t=0$。よって $z$ は実数である。

4(b)(2)

$s$ を実数として $z=s$ とおくと $z+i=s+i$ は常に上半平面にあり、実軸上にはない。従ってその偏角は $0^\circ<\arg(z+i)<180^\circ$ を満たす。逆に、この区間の任意の角 $\theta$ について $s=\cot\theta$ と選べば $s+i$ の偏角は $\theta$ となる。よって範囲は $$\boxed{0^\circ<\arg(z+i)<180^\circ}.$$

4(b)(3)

方程式の両辺の絶対値を取ると $|z+i|^9=|z-i|^9$ なので $|z+i|=|z-i|$。よって(1)より $z$ は実数であり、(2)から $\theta=\arg(z+i)$ は $0^\circ<\theta<180^\circ$ にある。このとき $z-i$ は $z+i$ の共役だから偏角は $360^\circ-\theta$ である。二つの9乗が等しいためには偏角が360度の整数倍だけ異なればよく、 $$9\theta\equiv-9\theta\pmod{360^\circ},\qquad 18\theta=360^\circ k$$ となる整数 $k$ が存在する。範囲条件から $k=1,2,\ldots,8$。各角は $z=\cot\theta$ とすれば実現し、元の等式も成り立つ。従って求める偏角は $$\boxed{20^\circ,\ 40^\circ,\ 60^\circ,\ 80^\circ,\ 100^\circ,\ 120^\circ,\ 140^\circ,\ 160^\circ}.$$